题记

自然科学只有数学的形式才称得上是科学。

——康德（Kant，1724-1804）

开场小故事

宋代杨辉所著《田亩比类乘除捷法》书中有这样一道题：直田积864步，只云阔不及长12步。问阔及长各几步？答：阔24步，长36步。

这题古算解法有四种：带从开方法、益积开方法、减从开方法和四因积步法。前三种方法比较繁琐，就不介绍了，说说第四种四因积步法。

此图由《周髀算经》中的弦图变通而来。

如图，先求长方形面积的4倍，得864×4=3456，再看图中的小正方形，它的边长恰好是长方形的长减宽的差，它的面积当然就是差的平方。得12*12=144，大正方形的面积就是3456+144=3600，开方得大正方形的边长为60，也就是说长方形的长加宽是60，于是问题转化为小学数学的和差问题。用和差法得出：长=36，宽=24

这个方法的代数原理是：（a－b）²＋4ab=a²-2ab+b²+4ab=a²+2ab+b²=（a+b)²

女儿在做奥数作业时遇到一道题不会，问我怎么做？题目如下：甲数比乙数大9，两数的积是792，求这两个数分别是多少？

这不就是改编的那道古算名题吗？于是我就在草稿纸上画图，用四因积步法解题：

792×4=3168，加上九九八十一就等于3249，开方用手机计算器，手机竖屏是标准型，横屏则是科学型，立马算出平方根是57，于是这两个数就是33和24

画外音：唐代僧一行（出家前原名张遂）在历法计算中，曾经解了一个一元二次方程，如果这个方程是x²+px=q，p>0,q>0,那么一行求得的正根是 ，画外音结束。

把作业对付完了，我的思绪却飘向远方，好像有什么不对。

第三级数学运算

杨辉的那道题目有鲜明的特色，数字都设计得非常巧妙，计算过程因为数字凑得整齐而毫不费力，在辛苦的解题过程之后，给人赏心悦目的感受。这也是中国古算的一大特色吧。杨辉的题目巧妙地回避了开方的难点，但对奥数题目而言，就没有回避开方的退路，必须正面解决这个如何开方的问题。（不要误解，我绝不会说杨辉不会开方，开方对宋代数学家来说犹如探囊取物，易如反掌。）

数学运算共有七种，可分为3个等级。第一级运算有两种，加法和减法，互为逆运算；第二级运算也有两种，乘法和除法，互为逆运算；第三级运算有三种，乘方、开方和对数。乘方是第五种运算，它有两种逆运算，即开方和对数。重点谈谈第六种运算：开方。本文只讲开平方。

公元前300年古希腊的《几何原本》就有乘法公式（a+b）²，古希腊人知道平方数之外，2、3、5……17的平方根是无理数，这甚至还引发了第一次数学危机。

巴比伦人使用60进位制，把一天分为24小时，一小时有60分，一分有60秒，与现代的时间单位一致。巴比伦人知道除法公式，掌握了勾股定理，计算 的值精确到小数点后第5位。有有理数平方根表，无理数平方根的计算方法后面我会详细介绍。巴比伦人使用近似计算公式

巴比伦60进位制的符号

巴比伦的平方表和立方表

9世纪，印度人就能解二次方程，知道一个数的平方根有两个值，还知道负数的平方根不可能是实数。

米歇尔·斯蒂弗尔（1487-1567年）写出了直到开七次方的数值求根法。

我国古代是用筹算来进行整数和分数的四则运算和开方。我国至少在公元前三四百年就有九九口诀（九九乘法表）。古书记载有筹算开平方的有《九章算术》（东汉初年）、《张丘建算经》、《孙子算经》（晋朝，四世纪末）、《夏侯阳算经》（南北朝夏侯阳的原著失传，现在的版本是八世纪唐朝韩延编辑的实用算书）。

《九章算术》有一道例题：求55225的平方根。对筹算的开方算法，刘徽画了个几何图形来说明，就非常方便理解。

刘徽用来说明开平方法的几何图形

看图，用一个正方形来表示被开方数，把它分为七个部分：黄甲幂（a²）、黄乙幂（b²）、黄丙幂（c²）、两个朱幂（ab）、两个青幂【(a+b)c】。

看图得出正方形的面积为

（a+b+c）²=a²+2ab+b²+2(a+b)c+c²=a²+(2a+b)b+[2(a+b)+c]c

用图示方法来解例题，设a=200，b=30，c=5

得到55225=235²=200²+(2×200+30)×30+[2×(200+30)+5]×5

遇到开方不尽的情况，可在整数方根后面带一个分数来表示所求方根的近似值。刘徽在《九章算术》的注里介绍了“不加借算”和“加借算”两种方法。

“不加借算”举例： =484 ，方法是设A=a²+r，得

“加借算”举例： =114 ，方法是设A=a²+r，得

这两种方法所得近似值较为精确，始创于我国三世纪。阿拉伯到了11世纪也有了同样的方法。另外，刘徽提出了开平方不尽可以续开小数的方法，与现代的方法类似，可以得到任意精确度的平方根近似值。

现代的笔算方法举例：先说定位。一个2位数的平方可能是3位数或4位数。一般而言，一个n位数的平方，是2n-1位数或2n位数。因为开方是乘方的逆运算，所以一个2n-1位数或2n位数的平方根是n位数。因此，很容易确定根的位数：从小数点开始，将被开方数向两边按两个数字一节来分节。根的小数点前后位数和小数点前后节数相等。

笔算12.5开平方

开平方的其他方法：珠算可以开平方、计算尺和查数学用表可以开平方。用不等式可以求根。用对数也可以。木匠有自己的方法来解决开平方和开立方的问题。以下重点介绍巴比伦人开平方的古法。

谈祥柏先生在《乐在其中的数学》一书中介绍了这个巴比伦人使用的古法。这个算法本质上属于迭代法。迭代法也称辗转法，是一种不断用变量的旧值递推新值的过程，跟迭代法相对应的是直接法(或者称为一次解法)，即一次性解决问题。这个算法很简单，只需要做除法和求算术平均值。举个例子，大家一看就会。

19是个质数，质数的平方根都是无理数。我们来看看怎么求19的平方根。请看下图：

迭代法计算19的平方根

再看下图，迭代法的精髓——自动纠错，一目了然。

迭代法的精髓——自动纠错

思考题：为什么可以自动纠错？

插播一段课文：小学《语文》五年级上册第24课

古人谈读书

一

敏而好学，不耻下问。

知之为知之，不知为不知，是知也。

默而识之，学而不厌，诲人不倦。

——《论语》

二

余尝谓：读书有三到，谓心到，眼到，口到。心不在此，则眼不看仔细，心眼既不专一，却只漫浪诵读，决不能记，记亦不能久也。三到之中，心到最急。心既到矣，眼口岂不到乎？ ——［宋］朱熹

三

盖士人读书，第一要有志，第二要有识，第三要有恒。有志则断不甘为下流；有识则知学问无尽，不敢以一得自足，如河伯之观海，如井蛙之窥天，皆无识者也；有恒者则断无不成之事。此三者缺一不可。

——［清］曾国藩

小学五年级课文预习

回到前面的思考题，想一想为什么会自动纠错。因为迭代过程是收敛的，背后的数学原理是一个命题。张景中院士在他的著作《从 谈起》中，一语道破天机，请看命题6：如果 是 的一个近似值，且已知误差 ，则取 ，当 时， 是 的一个更好的近似值。 和 的误差满足下列不等式

可以改写为迭代格式 ，可以取任意初值 ，利用迭代格式计算 ，简称开方。

谈祥柏教授常说“无事好做非非想”，我党的好干部焦裕禄说“吃别人嚼过的馍不香”。于是我就想，这个方法还可不可以改进呢？算法是求连续两个值的算术平均，能否改成其它的平均数呢？平均数有很多种，有算术平均数、加权平均数、几何平均数和调和平均数。算术平均数（A）、几何平均数（G）及调和平均数（H）统称为毕达哥拉斯平均数。考虑过，换个平均数是否效率更高呢？如果用加权平均数，怎么计算呢？

首先想到加权平均数。a、b两个数的算术平均数是简单相加再除以2，加权平均该如何操作呢？我的方案是0.382a+0.618b，相当于把两个数据的权数设定为0.382和0.618。算术平均数可以理解为权数相等的加权平均数。两个近似值，一个比另一个更好，它们的权数应该不相等。说干就干，我立刻用Excel搞实验，验证想法是否正确。

结果是理想很丰满，现实很骨感，我被实验结果狠狠打脸。

推荐阅读（几何平均数和调和平均数是什么？有什么作用？详细资料讨论他们的区别）。

但我是一个不死心的人，于是又搞起了下面的实验。

Excel函数计算19的平方根

Excel函数计算101的平方根

计算19的平方根

最终得出结论，现有算法是最好的，没有改进的余地和必要。折腾了好半天的功夫，是否是白费力呢？我的回答是人生没有白走的路，每一步都算数。这是我看了电影《冈仁波齐》后学到的宝贵经验和教训。