函数定义域与解析式题型全总结

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考试要求

1.理解函数的概念(B级要求)；

2.会求简单函数的定义域和和解析式(B级要求)；

3.分段函数提升及应用(A级要求).

基础知识 自主学习

知识梳理

1．函数

定义：设A，B是两个非空数集，如果按某种对应法则f，使对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应，称y＝f(x)，x∈A为从集合A到集合B的一个函数，记作函数y＝f(x)，x∈A。

2.函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，所有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的定义域；对于A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域．

(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域．

(3)函数的表示法

表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．

3．函数的定义域

(1)函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，若没有标明定义域，则认为定义域是使得函数解析式有意义的x的取值范围.

(2)分式中分母应不等于0；偶次根式中被开方数应为非负数，奇次根式中被开方数为一切实数；零指数幂中底数不等于0.

(3)对数式中，真数必须大于0，底数必须大于0且不等于1，含有三角函数的角要使该三角函数有意义等.

(4)实际问题中还需考虑自变量的实际意义，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集.

4.分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．

【概念方法微思考】

请你概括一下求函数定义域的类型．

提示　(1)分式型；(2)根式型；(3)对数式型；(4)指数函数、对数函数型；(5)三角函数型．

常记结论

1．一种优先意识

函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则。

2．两个关注点

(1)分段函数是一个函数。

(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集。

3．直线x＝a(a是常数)与函数y＝f(x)的图象有0个或1个交点。

基础自测

一、走进教材

1．(必修1P18例2改编)下列函数中，与函数y＝x＋1是相等函数的是( )

第1题选项及解析

2．(必修1P25B组T1改编)函数y＝f(x)的图象如图所示，那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只有唯一的x值与之对应的y值的范围是________。

第2题 图示

答案　[－3,0]∪[2,3]　[1,5]　[1,2)∪(4,5]

二、走近高考

第3题及解析

第4题及解析

第4题另解析

三、走出误区

微提醒：①对函数概念理解不透彻；②对分段函数解不等式时忘记范围；③换元法求解析式，反解忽视范围。

5．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________。(填序号)

第5题选项及解析

第6题及解析

第7题及解析

题型分类 深度剖析

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题型一　函数的概念→自主演练

题型一第1题及解析

题型一第2题及解析

题型一跟踪训练

【思维引导】 对于两个函数y=f(x)和y=g(x)，当且仅当它们的定义域、值域和对应法则都相同时，y=f(x)和y=g(x)才表示同一函数.而我们一般只要先考查定义域，再考虑对应法则即可.

题型一跟踪训练解析

【精要点评】 (1)分析有关函数定义的问题，一定要与映射相结合，由映射中原象与象的特点解决问题.(2)判断两个或几个函数是否为同一函数，主要从定义域、对应法则和值域这三方面进行判断.有时要对函数的解析式进行化简，然后进行分析.

思维升华 ：函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定；当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同)．

题型二　函数的定义域

命题点1　求函数的定义域

例1

例1第（1）题及解析

例1第（2）题及解析

例1第（3）题及解析

引申探究

引申探究第（1）题及解析

引申探究第（2）题及解析

命题点2　已知定义域求参数范围

例2

例2第（1）题及解析

例2第（2）题及解析

(3)设f(x)的定义域为[0,1]，要使函数f(x－a)＋f(x＋a)有定义，则a的取值范围为_______．

例2第（3）题答案及解析

思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，可借助于数轴，注意端点值的取舍．

(2)求抽象函数的定义域：①若y＝f(x)的定义域为(a，b)，则解不等式a<g(x)<b即可求出y＝f(g(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)在(a，b)上的值域即得f(x)的定义域．

(3)已知函数定义域求参数的值或范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解．

跟踪训练

例3跟踪训练第（1）题及解析

例3跟踪训练第（2）题及解析

例3跟踪训练第（3）题及解析

例3跟踪训练第（4）题及解析

题型三　求函数的解析式→师生共研

例题

题型三例题第（1）题及解析

题型三例题第（2）题及解析

题型三例题第（3）题及解析

题型三例题第（4）题及解析

题型三例题第（5）题及解析

【思维升华】函数解析式的求法

(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；

(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；

(3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式．

(4)构造（方程组）法：已知关于f (x)与f (1/x)或f (－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f(x).

跟踪训练

题型三跟踪训练第（1）及解析

题型三跟踪训练第（2）及解析

题型三跟踪训练第（3）及解析

题型三跟踪训练第（4）及解析

题型四　分段函数

命题点1　求分段函数的函数值

例题

题型四例题第（1）题及解析

题型四例题第（2）题及解析

命题点2　求分段函数中的参数

题型四例题第（3）题及解析

命题点3　分段函数与方程、不等式问题

题型四例题第（4）题及解析

[解题技法]

1.求分段函数的函数值的策略

(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；

(2)当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值；

(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．

2.已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法

(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；

(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．

3.分段函数与方程、不等式问题的求解思路

依据不同范围的不同段分类讨论求解，最后将讨论结果并起来；分段函数与解不等式结合时，可借助函数图象观察求解.

跟踪训练

题型四跟踪训练第（1）题及解析

题型四跟踪训练第（2）题及解析方法一

题型四跟踪训练第（1）题及解析方法二

课时作业

课时作业题目及解析

以上就是函数章节中对于函数的概念、定义域、解析式、分段函数总结得所有题型，希望大家好好珍惜，学习总结题型及方法，弥补自己的不足，提升自己。

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