在之前的一篇文章中，我们介绍过如何将矩阵&概率画成图，读者表示妙不可言。最近，该文作者又动手实现了新的想法：将矩阵画成张量网络图。

今天，我想分享一种不同的方法来描绘矩阵，它不仅用于数学，也用于物理、化学和机器学习。基本想法是：一个带有实数项的 m×n 矩阵 M 可以表示从 R^n→R^m 的线性映射。这样的映射可以被描绘成具有两条边的节点。一条边表示输入空间，另一条边表示输出空间。

我们可以用这个简单的想法做很多事情。但首先，要指定 m×n 的矩阵 M，必须指定所有 mn 项 M_ij。索引 i 的范围从 1 到 m，表示输出空间的维数；j 的范围从 1 到 n，表示输入空间的维数。换言之，i 表示 M 的行数，j 表示其列数。如果我们愿意，这些符号可以包括在图中：

这个想法很容易概括。矩阵是一个二维的数组，而一个 n 维的数组被称为一个 n 阶张量或一个 n-张量。像矩阵一样，一个 n 张量可以用一个节点来表示，每个维度有一个边。

例如，一个数字可以被认为是一个零维数组，即一个点。因此，它是一个 0-张量，可以绘制为一个边为零的节点。同样地，一个向量可以被认为是一个一维的数组，因此是一个 1-张量。它由一个具有一条边的节点表示。矩阵是二维数组，因此是 2-张量。它由一个有两条边的节点表示。三维张量是一个三维数组，因此是一个有三条边的节点……。

矩阵乘法是张量的缩并

将两个矩阵相乘就相当于「粘合」它们的图。这叫做张量的缩并（tensor contraction）。

在上图中，具有相同索引 j 的边是缩并的边。这与两个矩阵只有在输入/输出维度匹配时才能相乘的事实是一致的。你还会注意到结果图片有两个自由索引，即 i 和 k，它们确实定义了一个矩阵。

顺便说一下，画出这些图的一个关键特征是我们不必携带索引。

速查：矩阵被描述为一个单节点，每个向量空间有一个边，但是上面的图片有两个节点。我们仍然希望它表示一个矩阵。我可以断言，它还是一个矩阵！有一个很好的方法可以让我们看出来：将蓝色和绿色节点碰在一起。

这让我想起雨水从窗户滴下来：当两个雨滴接触时，它们融合成更大的雨滴。这是矩阵乘法。对于矩阵向量乘法，也有类似的情况：一个矩阵 M 乘以一个向量 v，得到另一个向量 Mv，它是一个具有一个自由边的节点。

更通俗地说，两个或更多张量的乘积由一组节点和边表示，其中具有相同索引的边发生缩并。

节点形状可以表示不同的属性

以上的节点都是用圆表示的，但这只是其中一种选择。没有人规定必须使用哪种形状。这意味着我们可以发挥创造力！例如，我们可能只想为对称矩阵保留一个圆形或其他对称形状，如正方形。

然后矩阵的转置可以通过反转其图像来表示：

所以对称矩阵的对称性保留在图中！

我也喜欢将等距嵌入（isometric embedding）绘制为三角形的想法：

等距嵌入 U 是从空间 V 到更大维度空间 W 的线性映射，它保留了向量的长度。这样的图满足 U^⊤U=id_v，但 UU^⊤≠id_w。换句话说，你可以将小空间 V 嵌入到大空间，然后再投影回 V 中，而不扭曲 V 中的向量（与拓扑中的回缩映射（retraction map）不同）。但是将所有的 W 都压缩到小 V 上后，你不能指望在将 V 转回 W 的过程中修复损坏。三角形暗示了这种大与小的特征。（三角形的底边比它的尖端大！）一般来说，如下图所示，单位线性算子被画成直线：

矩阵分解也可以画出很好的图

在讨论矩阵乘法，即矩阵合成的时候，我们不要忘记矩阵分解！例如，每个矩阵都有一个奇异值分解。这是一张与之相关的很棒的图片：

这里，U 和 V 是一元矩阵，所以是等距矩阵，也是三角形。矩阵 D 是一个对角矩阵，我喜欢用一个菱形来表示。总之，矩阵分解是将一个节点分解为多个节点；矩阵乘法是将多个节点融合为一个节点。

上图说明了这些图的另一个特点：节点的空间位置并不重要。我可以画黄色、蓝色、绿色和粉色的节点，在水平线、垂直线或之字形等任何我想画的形状上。唯一重要的是图有两个自由边。矩阵的乘积是另一个矩阵！

混乱的证明简化为图的证明。

关于这个图形符号，我们还有更多想说的，但我将用另一个值得注意的特性来总结：证明过程可以变得非常简单！以矩阵的迹为例。矩阵的迹图很简单。它被定义为一个共同索引的总和：

这串图没有自由边。这是一个循环。这与迹是一个数字的事实是一致的，它是一个 0 张量，所以它没有自由索引。这里有一个证明，在循环排列下，迹是不变的：

把珠子沿着项链滑。好简洁！

命名之争

文章中讨论的图起源于 Penrose 的图形符号，被称为张量网络图和/或字符串图（string diagram），也许有一些微小的区别。「和/或」取决于你是谁。也就是说，在物理/机器学习社区（在那里它们被称为张量网络图）和范畴论社区（在那里它们被称为字符串图），将向量空间的图可视化地表示为带边的节点。我认为这只是一个不同领域的例子，使用几乎相同的符号来实现不同的目的。

范畴论研究者使用字符串图来证明事物。此外，字符串图用于表示大多数类型的映射，而不仅仅是向量空间之间的映射。更正式地说，字符串图可能出现在讨论任何一类幺半范畴时。为了文雅地介绍这些范畴思想，请看 Fong 和 Spivak 的「Seven Sketches」以及 Coecke 和 Kissinger 的「Picturing Quantum Processes」。

另一方面，一些物理学家和机器学习研究者使用张量网络来计算事物。一个典型的情况可能是这样的。你有一个量子系统。你想找到一个特殊的线性算子的主特征向量，称为哈密顿量。这个特征向量存在于一个大得不可思议的希尔伯特空间中，所以你需要一种技术来以压缩的方式找到这个向量。输入：Tensor Networks。

我所说的「大得不可思议」并不是夸张。如果你有一个阿伏伽德罗数的量子粒子，每个粒子只占据两个状态，那么你需要一个维数为

的向量空间。现在想象在这个空间上有一个线性算子。这是一个包含

个项的矩阵。这比可见宇宙中原子的数目还要多，后者只有 10^80 个！要想把这个矩阵存在电脑上，那么只能祝你好运。总之，张量网络有助于我们以一种原则性的、易于处理的方式处理大量参数。

张量网络也与图模型、自动机等有很多重叠。当前研究的一个脉络是识别并充分利用这些重叠。所以这里有很多东西需要探索。可以从这些地方开始探索：

Miles Stoudemire 的 iTensor 库 ()： Orus 的「A Practical Introduction to Tensor Networks ()」： Biamante 和 Ville Bergholm 的「Tensor Networks in a Nutshell」： ()Google 的 TensorNetwork 库：

我一直在做一个项目，在一个更具计算性/物理性的环境中使用这些图。因此，我倾向于把它们看作张量网络图，而不是字符串图。

这个项目以一种特殊的张量网络为特色，有一些非常好的数学知识，我很高兴与大家分享。它还使用了之前在博客上讨论过的将矩阵看作图的思想。我计划今年晚些时候在博客上讨论这个问题。