引言

本文基于多尺度方法开展车辆电磁阻尼耦合悬架内谐振的线性控制的研究。建立包含线性控制的电磁阻尼耦合悬挂非线性振动模型，应用多尺度法分析线性控制时的电磁阻尼耦合悬挂非线性振动微分方程，得到悬挂系统和电路系统的振幅频率响应方程。

对包含线性控制的电磁阻尼架的稳定性展开讨论，得到系统稳定的条件。通过对电磁阻尼耦合悬挂宽度频率响应方程和时域计算例进行模拟分析，得到电磁阻尼悬挂位移和速度控制参数对悬挂和电路振动幅度值的作用规律。

通过开展悬架振动时域不同情况的研究，得出了不同结构参数和线性控制参数对电磁阻尼悬架振动的影响规律。

1、线性控制下电磁阻尼悬架内共振

图1电磁阻尼耦合悬架线性控制模型

利用多项式拟合方法，得到模型的振动微分方程为：

（方程1）

其中，m为簧上质量；z为悬架相对位移；

为悬架相对速度；

为悬架加速度；c为阻尼；k1为系统线性刚度；k2为系统非线性刚度；c0、c1分别为电磁耦合系数；位移控制参数gu和速度控制参数gv；Q为电荷量；

为电流；

为电流变化率；Ω*为外界激励圆频率；zb为外界激励幅值；t*为时间；Le、Re分别为线圈的固有电感和电阻，Rs为分流器的等效电阻；C为电容器的电容。

为了便于分析，引入无量纲量

（方程2）

其中，x为悬架无量纲位移；t为无量纲时间；ω为悬架固有圆频率；Ω为无量纲外界激励频率；q为无量纲电荷量；Q0为最大电压时的电荷量。

经过无量纲处理，方程1整理为

（方程3）

（方程4）

其中，ε为无量纲参数；

将方程3、4的近似解用以下形式进行表示

（方程5）

（方程6）

对方程3、4进行多尺度处理，整理得：

（方程7）

（方程8）

将方程3、4代入方程7、8中，整理得：

（方程9）

（方程10）

将方程9、10中等号两边ε的同次幂相等，得到一组线性偏微分方程，即

（方程11）

（方程12）

（方程13）

（方程14）

将方程13、14的近似解分别表示为以下形式：

（方程15）

（方程16）

其中，

为A的共轭复数，其极坐标形式为

（方程17）

公式处理过程中利用以下变换

（方程18）

将方程15、16和18代入方程13、14中，得到

（方程19）

（方程20）

调节外激励的频率Ω和悬架的固有频率ω1成主共振关系，悬架的固有频率ω1和电路系统的固有频率ω2成1:3内共振关系，各频率满足以下关系

（方程21）

将方程19、20整理只留下可能含有ejω1T0及ejω2T0的项，得到

（方程22）

（方程23）

方程22、23右端项含ejω1T0及ejω2T0的项会使方程的解产生永年项。为避免出现永年项，令含ejω1T0及ejω2T0的项系数为0，整理得到：

（方程24）

（方程25）

将17代入方程24和25中，整理得到：

（方程26）

（方程27）

方程26中各项同时除以ω1、ejβ1，方程27中各项同时除以ω2/ejβ2整理得到：

（方程28）

（方程29）

应用欧拉方程，对以上两个方程进一步整理得到：

（方程30）

（方程31）

对方程30、31分离实部虚部，引入新的相位Φ1=σ1T1-β1，Φ2=β2-3β1-σ2T1，整理得到耦合系统振幅及其对应的相位角满足的一阶常微分方程组为：

（方程32）

（方程33）

（方程34）

（方程35）

为确定耦合系统内共振时悬架a1和电路振幅a2与其对应的相位Φ1、Φ2，令D1a1=0，D1a2=0，D1Φ1=0，D1Φ2=0，得到振幅和相位满足的代数方程为：

（方程36）

（方程37）

（方程38）

（方程39）

根据上面四个方程可计算sinΦ1、cosΦ2、cosΦ1、sinΦ2的表达式，得到线性控制下电磁阻尼耦合悬架系统的幅频响应关系表达式40和41：

（方程40）

（方程41）

由式40和式41可知，电磁阻尼悬架幅频响应曲线由控制参数、机械参数和电路参数等决定。

1、线性控制主共振和内共振稳定性

上面内容对于电磁阻尼耦合系统线性控制进行了分析，其中外界激励频率和悬架固有频率成主共振关系，主共振定常解的稳定性为悬架系统的自治系统在定常解即奇点

处的稳定性。将方程32和34分别在奇点处

进行线性化，形成关于扰动量Δa1和ΔΦ1的微分方程，整理得到：

（方程42）

（方程43）

在方程42中，当速度控制参数gv不为0时，线性控制主共振定常解的稳定性与速度控制参数gv有关。

电路振动时振幅始终大于0即a2>0，在此处假定电路振幅a2为1；通过对方程43分析可得，电路振动对应相位角Φ2的数值对于定常解的稳定性有影响，为了便于分析，取临界条件Φ2=0。将a2=1，Φ2=0代入方程42、43中，整理得到：

（方程44）

（方程45）

利用方程36和38可以消去上式44和45中的ΔΦ1，得到特征方程：

（方程46）

将式46展开得：

（方程47）

假设λ前面系数(2m1+3m3a1)＞0时，对以上结果进行讨论，反之当(2m1+3m3a1)＞0则以下情况均变号。当速度控制参数gv等于0时，此时主共振定常解稳定的条件为：

（方程48）

以上是对主共振定常解稳定条件的研究，下面是对内共振响应稳定条件的进一步分析和研究，令D1a1=0，D1a2=0，D1Φ1=0，D1Φ2=0，进一步整理得：

（方程49）

（方程50）

（方程51）

（方程52）

对式49-52进一步整理，得：

（方程53）

（方程54）

（方程55）

（方程56）

其中，p1=a1cosΦ1、p2=a1sinΦ1、q1=a2cosΦ2和q2=a2sinΦ2为了确定平衡解的稳定性，方程式受到一个小扰动的干扰。摄动方程如下：

（方程57）

其中，T表示矩阵的转置，[J]是雅可比矩阵。一个固定平衡解对应的特征值方程可以表示为

（方程58）

其中，λ为矩阵[J]的特征值，δ1，δ2，δ3，δ4为方程的系数。

利用Routh-Hurwitz判据建立了平衡解的稳定性。因此，系统稳定的充分必要条件为

（方程59）

发生静态分岔的条件有：

（方程60）

系统出现Hopf分岔的充要条件是

（方程61）

当且仅当所有特征值的实部为负时，该平衡是稳定的;当特征值为正时，该平衡是不稳定的。当实特征值改变符号时，系统出现鞍节点型分岔，导致跳变现象。若系统中存在一对复共轭特征值及其实部变化符号，就会出现Hopf分岔，从而产生准周期运动。

2、线性控制下电磁阻尼悬架数值仿真

图2线圈固有电感为0.3H时，不同位移控制参数下的悬架幅频响应曲线

本文以线性控制下电磁阻尼悬架振动为研究对象开展算例分析，研究系统参数和控制参数对于电磁阻尼悬架系统振动的影响规律。

图2—图7为不同参数时悬架和电路的幅频响应图。

图2研究了当线圈固有电感为0.3H时，悬架在不同位移控制参数情况时的幅频响应曲线。其中，Rs=1000Ω，C=0.11，外界激励频率Ω=0.06rad/s，Le=0.3H，外界激励幅值0.04m。耦合系统的位移控制参数gu对于悬架振幅的大小有影响，随着位移控制参数的增大，耦合系统的悬架振幅逐渐减小。

当位移控制参数gu为0时，此时悬架振幅峰值点约为0.4，在共振频率点左侧，悬架振幅随调谐参数增大而增大，在共振频率点右侧，出现非线性特性，系统内共振时不稳定。当位移控制参数gu为2时，悬架振幅峰值减小至0.2以下，悬架振幅的峰值偏离共振频率点的距离缩短。

当位移控制参数由0增加至2时，悬架幅频响应曲线的非线性强度逐渐降低，悬架振幅峰值相比位移控制参数为0时降低了50%，耦合系统内共振逐渐趋于稳定。综上可得，增大耦合系统位移控制参数gu可以减弱系统振动的非线性并减小悬架振动时的振幅。

图3线圈固有电感为0.5H时，不同位移控制参数下的悬架幅频响应曲线

当线圈固有电感为0.5H、位移控制参数对悬架幅频影响关系曲线如图3所示。此时Rs=1000Ω，C=0.11，外界激励频率Ω=0.06rad/s，Le=0.5H，外界激励幅值0.04m。由图可知，悬架幅频响应受到不同位移控制参数的影响，悬架幅频响应峰值随位移控制参数gu的增大而减小。

图中虚线为位移控制参数为0时的悬架幅频响应，此时悬架振动峰值大约为0.32。点划线是位移控制参数为2时的悬架幅频响应，与位移控制参数为0时相比，悬架振动峰值降低到0.2以下。结合图2和图3中悬架幅频响应分析可知，悬架振幅响应的最大振幅随电感值的变大而减小。与线圈固有电感为0.3H时相比，线圈固有电感为0.5H时的悬架幅频响应峰值较小，非线性振动强度减弱。

因此，选择合理的控制参数和线圈固有电感，可以达到降低悬架振动幅值的目的。

当速度控制参数gv不同时，悬架幅频响应曲线如图4所示。悬架幅频响体随速度控制参数的减小而变小，其他参数保持不变，当速度控制参数gv为-0.1时，悬架振幅较无速度控制参数gv时的峰值降低了近40%。

另外，当速度控制参数gv为0.2时，悬架幅频响应曲线的峰值与gv为-0.1时峰值相同，而区别在于速度控制参数gv为-0.2时的幅频响应曲线整体向右平移。当调谐参数为1时，速度控制参数gv为-0.1的悬架振幅相比于速度控制参数gv为-0.2时的振幅相对较大。

综上可知，调节合理的速度控制参数可以实现对电磁阻尼悬架振动的有效控制。

图4不同速度控制参数下的悬架幅频响应曲线

图5是悬架振幅与速度控制参数gv关系曲线。分析图5可得，当位移控制参数不变，gv由1减少至-0.2时，悬架振动幅值随速度控制参数gv的减小接近线性降低，减少的速度也是趋近于斜率为-1的一次函数，在gv小于-0.2后，调谐参数σ1为1的曲线振动幅值下降的速度逐渐变慢。

由上节中的悬架幅频响应可知悬架振幅幅值约在调谐参数σ1为1时达到最大值，当调谐参数σ1为1，速度控制参数gv为-0.2时，悬架振幅的峰值较未加控制时降低了60%。

当速度控制参数gv为-0.4时，调谐参数σ1为2的悬架振动幅值开始缓慢减少，而当速度控制参数gv为-0.6时，调谐参数σ1为3的悬架振动曲线的幅值降低的速率才减小到比较小的值。

结合图4和图5可知，当速度控制参数gv为-0.2时，能有效地增强对耦合系统中悬架振动的控制。

图5悬架振幅与速度控制参数关系曲线

图6不同位移控制参数下的电路幅频响应曲线

图6研究了电路在不同位移控制参数情况下的幅频响应曲线。由图6可知，改变耦合系统的位移控制参数gu对于电路振幅的大小有影响，其他参数保持不变，电路幅频响应曲线整体随位移控制参数的减小而变大。

当位移控制参数gu为-0.1时，电路的幅频响应曲线悬架振幅较位移控制参数gu为0时整体向左侧平移，并且电路幅频响应曲线的峰值变大，在调谐参数σ2=0的左侧电路幅频响应曲线达到最大值。

另外，位移控制参数gu为-0.2时，电路幅频响应曲线整体向左侧平移，电路振幅峰值相比于位移控制参数gu为-0.1时增大。由此可得，选取合适的位移控制参数gu对于电路的幅频响应振动有一定的控制作用。

图7不同调谐参数时的电路幅值随速度控制参数变化曲线

图8无控制与电磁阻尼悬架对比时域图

图7为速度控制参数对电路幅值的影响关系曲线。由图可知，在其它参数不变的情况下，电路幅值随速度控制参数gv的增大而增大。当调谐参数为0、系统达到内共振时，电路幅频响应曲线的振幅达到最大值。调节速度控制参数使电路系统达到最大电路幅值，减小电磁阻尼悬架系统振动幅值，因此，可以通过选取合适的速度控制参数gv

达到对电磁阻尼悬架减振控制的目的。

电磁阻尼悬架与无控制悬架时域对比图如图8所示。作用于系统的阶跃激励幅值为0.04m。图中点划线为电磁阻尼耦合悬架中仅无控制悬架作用时的悬架时域图，此时方程1中的电流值为0。

图中实线为电磁阻尼耦合悬架电磁阻尼器作用时的悬架时域图。由图可知，电磁阻尼对机械悬架振动具有明显的衰减作用，振幅很快衰减为0。因而，电磁耦合系统在内共振情形下，电磁阻尼对于悬架振动的振幅有一定的作用效果。

图9无控制与线性控制电磁阻尼悬架振动时域图

图9是无控制与线性控制电磁阻尼悬架振动时域图。作用于系统的阶跃激励幅值为0.1m。图中虚线为电磁阻尼耦合悬架电磁阻尼器作用时的悬架时域图，图中实线为线性控制下的电磁阻尼悬架阻尼器作用时的悬架时域图。相比被动悬架作用时，电磁阻尼悬架振动位移幅值衰减速度和大小都降低了不少。

相比于在耦合悬架电磁阻尼作用时，线性控制下的电磁阻尼悬架模型的悬架振动幅值更小，幅值衰减速率较大。综上可知，线性控制对电磁阻尼悬架振动起一定的控制作用。

图10—图12为悬架参数不同时电磁阻尼悬架线性控制时域图。通过分析可知：非线性弹簧刚度、电磁阻尼系数和阻尼都是影响电磁阻尼悬架线性控制时域图的因素。

通过减弱非线性弹簧刚度、调整电磁阻尼系数数值以及增大阻尼可以提高悬架减振效率，降低悬架振动幅值。对比三种参数改变的悬架振动时域图，可以看出，悬架系统参数是线性控制设计时的重要因素。由以上可得，设计电磁阻尼悬架时适当调节这些参数，有利于提高悬架的减振性能。

图10不同非线性弹簧刚度时的电磁悬架时域图

图11不同电磁阻尼系数时的悬架时域图

图13—图14为电路参数不同时，线性控制下的电磁阻尼悬架时域图。通过分析可知：分流器电阻和电感是影响电磁悬架线性控制时域图的重要因素。通过调节分流器电阻值接近线圈固有电阻值和减小电感值可以提高悬架减振效率，降低悬架振动幅值。

对比两种参数改变的悬架振动时域图，可以看出，电阻对于悬架系统振动时的影响较大，合理的阻值可以更快地将悬架振动时的幅值降低到平衡位置；

改变电感值的大小使电磁阻尼悬架振动幅值变小，但是没有增大悬架振动衰减的速率。悬架系统的参数是线性控制器设计时的重要因素。由以上可得，电路中的分流器电阻值为线性控制设计时的主要因素，设计电磁阻尼悬架时适当调节这些参数，有利于提高悬架的平顺性。

图12不同阻尼值时的悬架时域图

图13不同分流器电阻时的悬架时域图

如图15所示为余弦简谐激励下的电磁阻尼悬架时域图。图15中，点划线为无控制电磁阻尼悬架作用时悬架车身动行程（振动位移）的时域图，实线为电磁阻尼悬架在线性控制作用时车身动行程的时域图。由图可知，相较于无控制电磁阻尼悬架作用时，线性控制使得电磁阻尼悬架车身动行程降低了20%~30%。由以上可得，线性控制对于电磁阻尼悬架振动有一定的控制作用。

图14不同线圈固有电感时的悬架时域图

图15余弦简谐激励下的电磁阻尼悬架时域图

总结

本文建立了线性控制下简单调谐激励的电磁阻尼耦合悬挂动力模型和非线性振动微分方程，应用多尺度法分析耦合悬挂系统内的谐振和系统稳定性，线性控制下耦合系统的得到宽频响应方程。应用MATLAB对电磁阻尼悬挂振动进行数值模拟，得到耦合系统的振幅响应曲线和悬挂振动的时域图，分析得出如下结论。

(1) 通过对电磁阻尼耦合悬架系统线性控制的幅度响应曲线的分析，可以了解控制参数对电磁阻尼耦合悬架的幅度大小的影响。悬架系统的参数、电路的RLC参数以及移位控制参数gu和速度控制参数gv是影响悬架内谐振的电磁阻尼的因素。通过适当改变上述参数，可以实现对电磁阻尼悬挂内谐振的调节和控制。悬架参数，电路中的RLC参数，速度控制参数gv是影响主谐振稳定性的要素，其稳定条件是通过讨论分析得到的。

(2) 振动非线性项，可通过线性控制降低振动对悬架的影响，选择适当的位移控制参数和速度控制参数对电磁阻尼悬架系统具有良好的抑制作用很有效果。假设移位控制参数gu为2，悬挂振幅响应的峰值下降50%以上。当速度控制参数gv为-0.2时，悬挂振幅响应峰值可降低35%。选择的数值为2的换挡控制参数，0.2的速度控制参数，可以减弱悬挂的非线性振动。位移控制参数为-0.2电磁阻尼悬架系统中的电路振幅可增大电磁阻尼力，提高电磁阻尼悬架振动的控制效果。

(3) 线性控制对电磁阻尼的振动有较好的抑制作用。与无控悬架振动的情况相比，包含线性控制的电磁阻尼悬架在0.2s的振动幅度是无控悬架振动的一半，达到系统稳定的时间是无控悬架的20%。悬架振动衰减和电磁阻尼悬架参数对系统的减振效果有不同的参数，通过适当增加非线性弹簧刚性、分流器电阻值和线圈固有电感的衰减值和电磁阻尼悬挂衰减幅度可降低具系数，提高平顺性。