作者 | 刘瑞祥

高次方程解起来极为困难，即使是有求根公式的三次、四次方程，由于公式复杂，往往也不具有实用性，这时因式分解就成为解相当多一类高次方程的利器。但因式分解往往又需要以方程根为依据，这就成为了一个“先有蛋还是先有鸡”的问题。这时如果恰当应用有理根定理，往往能够奏效。

所谓“有理根”定理，是指对于系数为最简整数的方程（最简整数即所有整数没有公约数，如果系数是分数则可以化成整数），设最高次项系数是 ，对应的因子分别为 ，，…，常数项为 ，对应的因子分别为 ，，…，如果存在有理根，则这个根一定是常数项因子与最高次项系数因子比值中的一个——（分母可能是 1，且方程根包括正负两种可能情况）。

下面通过一个例子来介绍这个定理的使用。

在高中课堂上我们计算 时就需要利用这一方法。设其为 ，由 结合倍角公式可得下面的三次方程：

根据有理根定理，猜测方程的根可能是 或者 、，代入 后方程成立，说明这个方程可以分解出一个因式——，这显然不是 的值，但是原方程分解出 之后剩下的二次方程已经不难求解，只要再根据 所在的范围，去掉一个根，剩下的就是 的值。

仅仅上述例子尚不足以证明有理根定理的强大。事实上，我们可以利用待定系数法把上述定理推广到相当广泛的一类无理根上。

最近从网络上看到一个四次方程：，原文是用换元法求解的，本文我们用推广了的有理根定理结合待定系数法求解。

通过试验发现， 和 均不是原方程的根，直接应用有理根定理陷入困境。下面我们设原方程有一个因式是，注意这里最高次项系数是 1，常数项是 -3，这里为节省篇幅没有考虑其它因子的组合，比如 或者 等等，而是直接给出了一个“好”的因式——即可以得到我们需要的答案的因式。

通过下面的除法得到原方程和上述这个待定因式的商：

显然，当 时余数为 0，即原方程可以分解为 ，后略。

进一步我们还可以试验：开始给的待定因式如果是 、 等形式是否合适，这个任务就留给读者了。