初中几何题-求三角形的一个边长

在三角形ABC中， D在AC上， F在BC上， 此外AB垂直于AC， AF垂直于BC， 并且BD=DC=FC=1， 求AC的长度。

解法1： 如图做DE垂直于BC， 垂足为E。

设AD=x, BF=y, 由于三角形ABC是直角三角形，根据射影定理有：

AC·AC=CF·CB,

也就是：

AC·AC=1（1+y）

显然此题如果求出y, 就能求得AC。

而AC=1+x,

因此（1+x）·(1+x)=1+y

此外两个直角三角形CDE和CAF是相似三角形，或者说AF和DE相互平行，对应的分割线段之比相等，所以有：

CD/AD=CE/FE

因为三角形BDC是等腰三角形， 所以：

E是BC的中点， 因此：

CE=（1+y）/2

EF=BE –BF=（1+y）/2-y=(1-y)/2

将相应的代数值带入CD/AD=CE/FE中， 并把由此分子和分母的2去掉，有：

1/x=(1+y)/((1-y)

整理后：

x(1+y)=1-y

目的是要变换成x+1的用y表达的代数式，所以再次整理：

(xy+y)+x+1=2, 随后左侧因式分解：

（y+1）(x+1)=2

由此得出x+1=2/(y+1), 将此式带入上面求出的1+x）·(1+x)=1+y中，

解得：

而：

回到前面求出的：

AC·AC=1（1+y）

即

最后

解法2：如图设BF=y, AC=x, 根据投影定理可知AF的长度为√y

在直角三角形ABF中有：

在直角三角形AFC中有：

消掉Y，有：

化简后：

最后