频谱分析——频谱概念（傅里叶变换、级数、积分及物理意义）

控我所思·制之以衡 09-08 1479

前言：

如今大家对“傅里叶变换定义和性质意义”大体比较重视，你们都想要分析一些“傅里叶变换定义和性质意义”的相关文章。那么小编在网摘上收集了一些对于“傅里叶变换定义和性质意义””的相关知识，希望小伙伴们能喜欢，朋友们快快来学习一下吧！

想要设计控制系统，首先应该从分析控制系统的性能要求出发。

频谱分析是设计和分析系统的一种常用手段，本篇文章将向大家介绍频谱的概念，包括傅里叶级数、傅里叶积分、傅里叶变换以及它们各自的物理意义。

在以后的推送中，将向大家介绍频谱分析的数值方法，还将列举几个实际例子。

频谱的概念1.傅里叶级数

设一个周期为的周期函数，即满足：若满足狄利克雷(Dirichlet)条件，可用收敛的傅里叶级数表示为

其中

写为更为紧凑的复数形式的傅里叶级数为

其中

为复数，一般写成如下形式

由上式可知与作为互为共轭复数，根据欧拉公式，每组共轭复数可写成

该式表明，复系数的幅值表示第k次谐波的幅值（幅值为），复系数的相角βk表示了该次谐波的相移。这种表示方法称为复数正弦。

傅里叶级数的物理意义：由上述可知，用傅里叶级数表示函数f(t)，即视由各次谐波组成，傅里叶级数的系数表示了各次谐波的幅值和相位，而这些系数的集合称为频谱。

Tips：

1.负频率同样具有意义，当谐波用复数形式表示时，负频率表示了复数正弦的反向旋转

2.谐波次数为整数，用谐波频率同基波频率之比给出，因此频谱不是连续的，而是离散的，故这种频谱有时也称为线谱

3.频谱可以有不同的形式，有时只列出复系数的幅值

例如：绘制周期为T的方波序列的频谱

将方波序列的表达式代入至ck的表达式中，若，，利用欧拉公式可得到，

通过代入计算，各次谐波的ck值如下表所示

0.63662

0.2122

0.1273

MATLAB代码如下：

clear，clcT = 2*pi; % 周期 omiga = 2*pi/T;sw = @(n,t) exp(-1i*n*omiga*t).*square(t);N=20;Cn = zeros(1,2*N+1); % 计算Cnfor n=-N:N    Cn(n+N+1) = quad(@(t)sw(n,t),-T/2,T/2,1e-9)/T;endn = 0;c0 = quad(@(t)sw(n,t),-T/2,T/2,1e-9)/T;  % 计算C0stem((-N:N).*omiga,abs(Cn));grid ontitle('幅值谱');xlabel('\omega');ylabel('|c_n|');

2 傅里叶积分与傅里叶变换

首先对傅里叶积分与傅里叶变换进行推导，推导完毕后将讨论傅里叶积分的物理意义。着急的同学也可以直接看结论哦~

实际上大多数函数是非周期函数，傅里叶级数无法处理非周期函数，但是可以应用傅里叶变换来处理。将周期函数的周期T看作无穷，即。

傅里叶级数的表达式为

对于上式的第一项，当时，有如下考虑

因此，当f(t)为绝对可积函数，时，第一项趋于零。设，相邻谐波之间的频率差，当时可以看作为。于是有

上式为关于ω的偶函数，所以可以写为：

此时，再加入一个ω奇函数积分

综上

即

上式即称为傅里叶积分，傅里叶积分还可以写成如下的形式：

式中