李联林

简介：目前已知最大的梅森质数是Mˇ82589933，位长为24,862,048。本文提请学术界注意，发现了更大的质数数值，Lˇ134217728，其位长为134217728*2+2 = 268,435,458，更有Lˇ536870912，位长则为1,073,741,826，已超过十亿位的长度；均要远大于人们已知的最大质数。

一、现状

寻找更大的质数，已然成为数学界的一场奥林匹克竞赛，“没有最大、只有更大”。

目前世界上已知的最大质数，是2018年发现的第51个梅森质数Mˇ82589933，它的十进制位长为24,862,048。所谓的梅森数，是指形如（2^p－1）的奇数，其中指数p必须是质数，记为Mˇp。若Mˇp继续是质数，则称其为梅森质数。即使通过国际合作，全球计算机联网（GIMPS)，平均需要数年时间才能够发现新的更大质数。

每当人们发现一个更大的质数，就像是科学界的一个盛大节日。1963年，美国伊利诺伊大学通过大型计算机找到第23个梅森质数时，全体师生感到无比骄傲，以致于把所有从系里发出的信件，都要敲上“211213－1是个质数”的邮戳。2013年，美国中央密苏里大学发现的第48个梅森质数，被英国《新科学家》周刊评为当年自然科学十大突破之一。

总部设在美国的电子前沿基金会（EFF）曾宣布，若发现超过一亿位的梅森质数，奖金15万美元；超过十亿位数，25万美元。不过，没有一个数学家是为了奖金而去寻找更大的质数，而是为了满足他们对于大自然的好奇。在这个过程中，极大地推动了数学的发展。本文作者嘛，除此以外，略有不同，闲得慌。

二、几个冷知识

1 为什么要在梅森数中寻找质数

首先是因为好表达。实际上，任何一个奇数都有可能是一个质数，但是一个有二千多万位长的奇数，写出来就要几万张A4纸。而梅森质数，只需借助于一个公式，把与它位长有关的指数p写出来就行了，例如Mˇ82589933，代表着（2^82589933－1）的数值。

2 质数的出现有规律吗

几百年来，几乎所有的数学大师都研究过质数。长期以来，数学家们希望利用某种函数，来找到质数出现的规律；尤其是寄希望于梅森公式（质数），其中指数p的数值具有规律性吗？当然，他们更希望能够发现一种质数公式，只要把某个数值带入到这个公式中去，就可以得到任意大，且任意多的质数。

但是目前为止，所获甚微。因此，学术界公认质数的出现杂乱无章，质数公式并不存在。

3 质数的分布越来越稀疏

包括梅森数、费马数在内的所有奇数，数值越大，出现质数的概率就越低。这就是为什么即使有巨型计算机的加持，全球联网，数年间也难以发现更大质数的原因。

这么说也许你就更明白了：即使发现一个很小，但是新的梅森质数，电子前沿基金会也有3000元奖金。

三、更大的质数

本人认为：现在数学家们在梅森数当中寻找更大的质数，虽不能说是一条死路，却是一条充满着无奈，越走越窄的笨路。应该换一个思路了！

1 “9091”数

有别于解析数论的传统方式，本人自创了一个数论新分支--“结构数论”；研究结果表明，可在一种新型，且数值任意大的“9091”数当中寻找大质数。所谓的“9091”数，是指一种具有特殊结构特征的奇数，其最低的两位数字是“91”，其余高位数全部是成对的“90”。这样一来，对于这类数值的表达，只需要用Lˇl，描述出它们的位长即可，表达方式同样非常简洁。其中，大写的字母L表示它是一个“9091”数，或者也可叫“9091”质数、结构质数；小写的字母l，则表示该数值中含有“90”的对数。例如，9091可记为Lˇ1；909091可记为Lˇ2；909090909090909091则可记为Lˇ8；以此类推。根据定义，下一个数值就要增大两位的长度，将以百倍的速度增长。

2 “9091”质数

本人条件有限，只筛选计算了小于1000位长度的所有“9091”数值，发现其中有8个“9091”质数：Lˇ1；Lˇ2；Lˇ8；Lˇ14；Lˇ25；Lˇ32；Lˇ145；ˇL319。在“9091”数当中，出现质数的密度是否高于普通的奇数，是否符合现有的质数定理，作者暂未去研究，因为更关键是下一点。

3 “9091”质数有规律吗

有,这种质数的出现可与其位长l的数值有关；这与人们试图在梅森质数的p值当中寻找规律（可惜没有），异曲同工。虽然目前只计算到1000位长，但是从中已可以总结出两个质数出现的必要条件和一个充分条件（本文是普及篇，详见“结构数论及更大质数的发掘”一文）。

同时发现，这种“9091”质数可以再细分类，例如，Lˇ2、Lˇ8和Lˇ32就属于同一个类型，从中可得出这一类质数的充分条件。按照这种崭新的理论，只需要对于较小的位长l进行计算挑选，计算量相对很小，只要满足了充分条件，就可以直接得到极大的质数Lˇl，这几近于就是一种质数公式。

4 远超梅森质数的“9091”质数

结构数论的精华之一，就是给出了某类“9091”质数的充分条件，并可据此预测出一些更大的质数：Lˇ2048，Lˇ32768，Lˇ131072，Lˇ134217728，Lˇ536870912，…。其中，Lˇ134217728和Lˇ536870912，就已大于目前人类已知的最大质数Mˇ82589933。这样一来，寻找更大质数的过程，由在越来越多的数值当中大海捞针似地筛选，变成了对于少数几个数值的验证，计算量急剧减少，这就是一场革命。

四、后续工作方向

1 筛选出更多的“9091”质数

根据质数定理和概率论，随意写出两个只有千或万位长的奇数，碰巧都是质数的概率极小。那么，筛选出十万位以下，甚至更多位长的“9091”质数，至少两个吧，即可间接地验证，质数的两个必要条件和一个充分条件是否成立（或者是大概率成立，概率也是一种规律），进一步证实结构数论的意义。更何况根据这种崭新理论预测出的质数，可具有上亿位的长度。

2 发现更多类型的质数充分条件

已发现的质数充分条件，只是针对Lˇ2，Lˇ8和Lˇ32类型的质数。如果筛选出更多的“9091”质数，对于Lˇ1，Lˇ14，Lˇ25，Lˇ145和Lˇ319这些质数，或许还能找到它们的同伴；从中发现更多新类型的质数充分条件，进而预测出更多、更大的质数。

3 发现新型的结构质数

“9091”类型的质数是孤例吗？有就更好，就像是地球文明也应该有个伴。本人建议，可以在“9901”类型的奇数中寻找质数及其规律。

4 验证远超目前已知最大梅森质数的“9091”质数

筛选出比Mˇ82589933更大的梅森质数，俨然是一个极其艰难、大海捞针似地过程，而验证出Lˇ2048，Lˇ32768，Lˇ131072，Lˇ134217728，Lˇ536870912，是否是质数的工作量就应该小得多；因为无需筛选，只是对于少量数值的验证而已，复杂度仅为O(n^3)。

随着计算技术的发展，尤其是量子计算机的成熟，二十年后的今天，初中生当中就会有人发问：早知现在，何必当初？而我想说的是：若知将来，何必现在？