街边小游戏“三颗骰子”的概率分析

　　2019年8月13日星期二

　　游戏是这样的：

　　“

　　你有一个机会在1到6之间选定一个数目，为它下赌注1美元。然后抛掷三颗骰子，如果你的数字不出现，那就输掉赌注1美元。如果出现1次，赢1美元；出现2次，赢2美元；出现3次，赢3美元。

　　”

图片来自网络

　　我们的问题是：

　　“

　　这种赌法对你是否有利？

　　你能测试出恰好对双方公平的胜负规则吗？

　　”

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　　我没有在生活中遇到过这样的“小游戏”，就只当是一个“数学问题”，而非“社会问题”或“法律问题”。

　　这个“数学问题”不难，它的概率模型是这样的：

　　一颗质量均匀的骰子，它的六个面朝上的概率是相等的，都是1/6。

　　设：

　　p=1/6：表示所选数字出现的概率，p的发生意味着玩家赢、庄家输；

　　q=1－1/6=5/6：表示其他5个数字出现的概率，q的发生意味着玩家输、庄家赢；

　　n：表示骰子的个数。

　　则有：

　　代入求值：

　　①0个骰子p发生的概率：C(3,0)*(1/6)^0*(5/6)^3=125/216

　　②1个骰子p发生的概率：C(3,1)*(1/6)^1*(5/6)^2=75/216

　　③2个骰子p发生的概率：C(3,2)*(1/6)^2*(5/6)^1=15/216

　　④3个骰子p发生的概率：C(3,3)*(1/6)^3*(5/6)^0=1/216

　　把后面3项加起来：75/216+15/216+1/216=91/216，表示至少1个骰子p发生的概率，也就是“至少出现1个所选数字的概率”。这个概率有个规律：随着骰子数n的增加，将会越来越大，无限逼近1。

　　1～20个骰子的数据如下：

　　骰子数　　至少出现一个所选数字的概率

　　1　　0.166666667

　　2　　0.305555556

　　3　　0.421296296

　　4　　0.517746914

　　5　　0.598122428

　　6　　0.665102023

　　7　　0.720918353

　　8　　0.767431961

　　9　　0.806193301

　　10　　0.838494417

　　11　　0.865412014

　　12　　0.887843345

　　13　　0.906536121

　　14　　0.922113434

　　15　　0.935094528

　　16　　0.945912107

　　17　　0.954926756

　　18　　0.962438963

　　19　　0.968699136

　　20　　0.973915947

　　……

　　骰子越多，对玩家越有利。但庄家也不傻，他会精心设计“输赢赔率”，比如文首“胜负规则”：

　　0次出现　1次出现　2次出现　3次出现

　　　-1＄　　　1＄　　　2＄　　　3＄

　　这个胜负规则下的“输赢期望”是：

　　125/216*(-1)+75/216*1+15/216*2+1/216*3=-17/216（美元）=-0.078 703 703…（美元）

　　也即：平均每1美元赌注，玩家大约输掉8美分。

　　至于公平的“胜负规则”，我测试出了两种“输赢赔率”，就卖个关子，留给聪明的您了。值得一提的是：所谓“公平的胜负规则”，其数学内涵是“输赢期望＝0”。看来，这是消减“赌博”的节奏啊，哈哈。

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