2021年湖南永州中考数学的这道抛物线相关的压轴题（湖南很多地方中考数学都是有两道压轴题的，一道几何，一道代数），最后两小题的题型都有点新。最后两小题用的方法更是高中阶段才会经常用到的。学一学，对中考可能会有很大的帮助。

已知关于x的二次函数y1=x^2+bx+c(实数b,c为常数).

(1)若二次函数的图像经过点(0,4)，对称轴为x=1，求此二次函数的表达式；

(2)若b^2-c=0，当b-3≤x≤b时，二次函数的最小值为21，求b的值；

(3)记关于x的二次函数y2=2x^2+x+m，若在(1)的条件下，当0≤x≤1时，总有y2≥y1，求实数m的最小值.

分析：(1)c就是抛物线和y轴交点(0,4)的纵坐标4，求b则用对称轴公式x=-b/(2a)=1. 这是绝对的送分题。

(2)分类讨论法的经典运用。很考验考生的逻辑思维能力。顶点可能在端点x=b-3，x=b，或对称轴x=-b/2取得。至于在哪里取得这个最小值，就要分三种情况来讨论。（这种方法常见于高中数学）

①当-b/2<=b-3时，即对称轴在所取区间左侧时，由函数图像的性状可以知道，最小值在f(b-3)=21；

②当b<=-b/2时，即对称轴在所取区间右侧时，最小值在f(b)=21；

③当b-3<-b/2<b时，最小值在顶点f(-b/2)=21。

各自列得一个关于b的方程，解方程，再检验根是否符合条件，就可以了。

(3)这道题其实画出草图就一目了然了。很明显的，m的最小值等于4。我们经常能看到中考数学压轴题的最后一道小题，要求我们直接写出答案。这是一道真正可以通过猜想得到答案的压轴题，可惜，这次出题人却不让我们直接写出答案了。我们在明知道答案的情况下，却还得组织解题过程，你说气不气人！老黄真想用一句“由两条抛物线图像的性质，可知m=4最小”，就把它对付过去了。不过这样做，怕是保不住分数，无奈只好开始组织解题过程了：

解：(1)依题意：c=4, -b/2=1, ∴b=-2.

(2)由b^2-c=0，有c=b^2,

当b≤-b/2，即b<0时，f(b)=b^2+b^2+c=3b^2=21时，b=-根号7或b=根号7(舍去).

当b-3≥-b/2，即b≥2时，f(b-3)=(b-3)^2+b(b-3)+c=3b^2-9b+9=21时，b=4或b=-1(舍去),

当0<b<2时，f(-b/2)=b^2/4+b^2/2+c=7b^2/4=21时，b=±2倍根号3(舍去).

∴b=- 根号7或b=4.

(3)列不等式2x^2+x+m≥x^2-2x+4, 化简得x^2+3x+m-4≥0, 【转化为解不等式的问题】

当△=9-4(m-4)≤0，即m≥25/4时，不等式恒成立. 【这是两条抛物线没有两个公共点的情况。但这个时候不一定取得最小值】

当△=9-4(m-4)>0，即m<25/4时，x≥(-3+根号(25-4m))/2或x≥(-3+根号(25-4m))/2≤0.【这是两条抛物线有两个公共点的情况】

若(-3+根号(25-4m))/2≥1，无解. 【就是两条抛物线的左交点不可能出现在x>=1的区间内】

若(-3+根号(25-4m))/2≤0，得m≥4；【这是两条抛物线的右交点出现在非正区间的情况，这时就有y2≥y1】

∴m=4最小.【这种解法也常见于高中数学中。不过用到的知识，都是初中生就必须掌握的】

虽然一眼就可以看出答案，但想把这个答案求出来，还真不容易，您对这道题，怎么看呢？