不确定度关系 uncertainty relation

量子力学状态的一个重要性质。它界定了用经典力学描述作为近似时的近似程度，又称测不准关系。

W.K.海森伯从想象中的实验出发，基于德布罗意关系得出测量坐标的不确定度Δq与测量动量不确定度Δp二者之间应有ΔqΔp～ћ关系，此处ћ为普朗克常数h除以2π。测量中的不确定度是量子力学描述的微观粒子状态性质的反映，并非测量手段的不完善所致。

用量子力学可以严格证明，在力学量算符q、p满足对易关系[q,p]=iћ条件下，它们的不确定度Δq和Δp必然满足：ΔqΔp≥ћ/2。

不确定度定义为。

式中<>符号代表力学量平均值。这是任意量子力学态的力学量不确定度的普遍性质。

不确定度关系在量子力学中有普遍的呈现。如一维谐振子的基态能量ћω/2（ω为振子角频率）就是不确定度关系的体现。

根据经典力学，最低能量态是粒子位于原点且动量为零，此时能量为零。根据不确定原理，位于原点的粒子态（Δq=0）动量可以任意大，动量为零的粒子态（Δp=0）坐标可任意大，因此它的能量不可能最小。

将能量对Δq或Δp的变化求极小值，就得到ћω/2，这是位置和动量的不确定性“协调”得到最低能量的结果。这个能量被称为零点能。

零点能在物理学中是很重要的，如激发原子的自发辐射就是电子和电磁场的零点能（又称真空涨落）相互作用的结果。

物理学中各种体系的特征能量尺度也可从不确定关系直接得出。如原子大小为厘米，将电子局限在这个范围内，厘米。它的动量不确定度就是Δp～ћ/Δx，相应的能量数量级是电子伏（m为电子质量）。

类似地，原子核的特征能量大小为百万电子伏数量级。

量子力学中还有一个能量和演化时间的不确定度关系ΔEΔt～ћ。它的地位和位置-动量不确定度关系不同。

位置与动量是一对共轭力学量，满足对易关系[q,p]=iћ。时间在量子力学中不是力学量，仅是个参数。

用自由波包的演化可通过波粒二象性导出能量-时间的不确定度关系。波包的能量不确定度和动量不确定度的关系是：

用E=ћω，P=ћk得到：

因此，。

令波包宽度为Δx，则波包通过空间某一点所需的时间（时间不确定度）为，故有ΔEΔt≈ΔxΔp≈ћ。

如果体系的亚稳态寿命为τ，则根据能量-时间的不确定度关系，它的能级宽度应该为ћ/τ。量子力学的定态是能量本征态（ΔE=0），因此寿命应为。

但原子的激发态寿命有限，这是因为电子和辐射场的真空涨落相互作用的结果。

当大量玻色子位于同一个量子状态时（如单模激光或玻色-爱因斯坦凝聚），还有一种不确定度关系ΔNΔθ≥1，此处N、θ分别代表粒子数和状态函数的相位。作为算符，N、θ满足[N, θ]=-i。在粒子数很大时可以应用，否则将θ作为量子算符有理论上的困难。

推荐书目

HEISENBERG W. Physical Principles of the Quantum Theory，Chicago：University of Chicago Press，1930.

摘自：《中国大百科全书（第2版）》第3册，中国大百科全书出版社，2009年