hello，小伙伴们，昨天张哥给大家分享了折叠问题的几个方法，大家有没有收获呢？今天张哥继续给大家分析填空题的那些比较难的题目的方法。今天张哥给大家分析的是轨迹问题。

轨迹问题大致有两类题型，分别是利用轨迹求最值和求轨迹的长度。下面我们来一一分析.

在初中数学当中，轨迹一般有三类，直线（线段），圆（圆弧），反比例函数。以直线和圆考得最多，我们下面来讲讲轨迹的判定.今天我们来讲讲圆的轨迹的判定（不涉及瓜豆原理）.

圆的轨迹判断方法大致有以下几种：

从某个点出发，引三条线段（可以更多），当三条线段相等时，则三点共圆.

如图：OA=OB=OC，则A、B、C三点共圆.

2 . 若一个三角形的某个角和这个角的对边已知，则可作出这个三角形的外接圆（定弦定角）.

以90°为例：正方形ABCD，边长为2，E、F为BC、CD上的两点，且DF=CE，易证∠APD=90°，当E、F在线段BC、CD上移动时，点P也随着改变，但点P的轨迹为以AD为直径的圆.

3 . 四点共圆的判定方法，这里就不举例了，大家都知道.

现在，我们就通过具体的题目，先来说明轨迹在最值当中的运用.

例：如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C长度的最小值是 ．

由折叠的性质可知：MA=MD=MA'，所以A'的运动轨迹是以M为圆心、MA为半径的圆上的弧AD上运动，当A′C取最小值时，由两点之间线段最短知此时M、A′、C三点共线，得出A′的位置，进而利用锐角三角函数关系求出A′C的长即可．

我们再看一个题：如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE=DF．连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是_______.

分析：根据正方形的性质可得AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，然后利用“边角边”证明△ABE和△DCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠DCF，利用“SAS”证明△ADG和△CDG全等，根据全等三角形对应角相等可得∠DCF=∠DAG，从而得到∠ABE=∠DAG，然后求出∠AHB=90°，此时，∠AHB=90°不变，且对边AB=2不变，满足定弦定角，故H点的运动轨迹是以AB为直径的圆.取AB的中点O(圆心)，连接OH、OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OH，利用勾股定理列式求出OD，然后根据三角形的三边关系可知当O、D、H三点共线时，DH的长度最小．

这道题是不是有些难度？估计很多小伙伴对于取AB中点O（圆心）这里都不是很能理解，相信也有其他老师把这道题讲过一遍了，张哥再重复就没啥意思了是吧？所以张哥这里就为大家送上总结.保证原创，绝无二家，一有二家，绝对抄袭！就是这么自信！

上干货！

在我们初中几何中，有一个很神奇的数字“3”，我相信各位小伙伴接触几何的“3”是从三角形开始的。后面张哥会给大家详细解析这个“3”。这里废话不多说，我们来总结轨迹问题的三个关键点：“起点”，“终点”，“圆心”.

其中，起点和终点都是来自于所求的线段，如图1中的A'C，哪个为起点无所谓，我们就以A'为起点，C为终点，圆心很好理解，就是点M.

详细步骤：

一、 确定起点，终点，圆心；

二、连接起点，终点，圆心，构成一个三角形；

三、当起点，终点，圆心三点共线时候，存在最值（不一定是最小值）.

四、 求最值

所以，我们现在再来看第二题，就要好很多。

一、 确定起点D，终点H，圆心O；

二、连接起点D，终点H，圆心O，构成一个三角形DHO；

三、当起点D，终点H，圆心O三点共线时候，存在最小值.

四、 求最值

当然，还有一个关键问题，题目当中直角三角形特别多，如何确定圆心，比如第二题，直角三角形有AHE、三角形AHB，为什么是后者？可以这样去理解：我们要求最值，肯定需要相关的线段长度已知，而三角形AHE的斜边AE未知，就不能选.简而言之，通过定弦定角去判断斜边已知的直角三角形即可.

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