JPEG编码过程主要为变换、量化、编码三个阶段。其中变化阶段主要是将空域转为频域信息，因为一般图像中大部分信息是低频信号，人眼对高频信号相对不灵敏，转化为频率信号后更容易去冗余。

一、DCT简介

DCT变换的全称是离散余弦变换(Discrete Cosine Transform)，主要用于将数据或图像的压缩，能够将空域的信号转换到频域上，具有良好的去相关性的性能。DCT变换本身是无损的，但是在图像编码等领域给接下来的量化、哈弗曼编码等创造了很好的条件，同时，由于DCT变换时对称的，所以，我们可以在量化编码后利用DCT反变换，在接收端恢复原始的图像信息。DCT变换在当前的图像分析已经压缩领域有着极为广大的用途，我们常见的JPEG静态图像编码以及MJPEG、MPEG动态编码等标准中都使用了DCT变换。

二、一维DCT变换

一维DCT变换是二维DCT变换的基础，所以我们先来讨论下一维DCT变换。一维DCT变换共有8种形式，其中最常用的是第二种形式，由于其运算简单、适用范围广。我们在这里只讨论这种形式，其表达式如下：

一维dct

其中，f(i)为原始的信号，F(u)是DCT变换后的系数，N为原始信号的点数，c(u)可以认为是一个补偿系数，可以使DCT变换矩阵为正交矩阵。对应的逆DCT变换公式为：

一维dct逆变换

三、二维DCT变换

二维DCT变换其实是在一维DCT变换的基础上再做了一次DCT变换，其公式如下：

二维DCT变换

由公式我们可以看出，上面只讨论了二维图像数据为方阵的情况，在实际应用中，如果不是方阵的数据一般都是补齐之后再做变换的，重构之后可以去掉补齐的部分，得到原始的图像信息，这个尝试一下，应该比较容易理解。另外，由于DCT变换高度的对称性，在使用Matlab进行相关的运算时，我们可以使用更简单的矩阵处理方式：

matlab简化

接下来利用Matlab对这个过程进行仿真处理：

matlab做DCT

运行结果为：

运行结果

由上面的结果我们可以看出，我们采用的公式的方法和Matlab自带的dct变化方法结果是一致的，所以验证了我们方法的正确性。

如果原始信号是图像等相关性较大的数据的时候，我们可以发现在变换之后，系数较大的集中在左上角，而右下角的几乎都是0，其中左上角的是低频分量，右下角的是高频分量，低频系数体现的是图像中目标的轮廓和灰度分布特性，高频系数体现的是目标形状的细节信息。DCT变换之后，能量主要集中在低频分量处，这也是DCT变换去相关性的一个体现。

之后在量化和编码阶段，我们可以采用“Z”字形编码，这样就可以得到大量的连续的0，这大大简化了编码的过程。

四、DCT反变换

在图像的接收端，根据DCT变化的可逆性，我们可以通过DCT反变换恢复出原始的图像信息，其公式如下：

DCT逆变换

同样的道理，我们利用之前的矩阵运算公式可以推导出DCT反变换相应的矩阵形式：

matlab简化

下面我们用Matlab对这个过程进行仿真：

matlab运行

运行结果为：

运行结果

我们可以看到反变换后无损的恢复了原始信息，所以证明了方法的正确性。但是在实际过程中，需要量化编码或者直接舍弃高频分量等处理，所以会出现一定程度的误差，这个是不可避免的。

五、分块DCT变换

在实际的图像处理中，DCT变换的复杂度其实是比较高的，所以通常的做法是，将图像进行分块，然后在每一块中对图像进行DCT变换和反变换，在合并分块，从而提升变换的效率。具体的分块过程中，随着子块的变大，算法复杂度急速上升，但是采用较大的分块会明显减少图像分块效应，所以，这里面需要做一个折中，在通常使用时，大都采用的是8*8的分块。

Matlab的 blkproc 函数可以帮我们很方便地进行分块处理，下面使用matlab对读取的图片做dct。给出我们的处理过程：

分块DCT

运行结果：

全局dct

分块dct

从图中，我们可以明显看出DCT变换与分块DCT变换在使用时的区别。