文丨神奇的玛利亚

编辑丨神奇的玛利亚

前言

极端事件在各种动力系统中无处不在，包括湍流流体流动、非线性波、大规模网络和生物系统，我们提出了一个变分框架，用于探测在高维非线性动力系统中，触发间歇性极端事件的条件。

寻求触发器作为适当约束优化问题的概率可行解决方案，其中要最大化的函数是表现出间歇性极端突发的系统可观察，而其中的变分方法又起到什么作用？

动力系统的自然流动

施加约束是为了确保最优解的可接受性，即在动力系统的自然流动下它们发生的概率很大。

我们将该方法应用于一个体强迫不可压缩的纳维斯托克斯方程，称为柯尔莫果洛夫流，发现能量耗散的间歇性爆发与外部强迫无关，而是由能量通过非线性三元相互作用，从大尺度自发转移到平均流引起的。

相应变分问题的全局最大化器识别负责的三元组，从而为极端耗散事件的发生提供前兆，具体来说，监测这个三元组内的能量转移，使我们能够为间歇性的能量耗散开发一个数据驱动的短期预测器，可以通过数值模拟来评估该预测器的性能。

测试期间，大量的动力系统表现出间歇性行为，这些行为通过其可观测值的时间序列中的零星爆发表现出来。

而极端事件产生的可观测值与其平均值相差几个标准偏差，导致相应概率分布的尾部很重，重要的例子包括气候现象，海洋和光学系统中的无赖波浪以及湍流中的大偏差。

由于这些极端现象通常具有显著的后果，因此它们的量化和预测非常有趣，在极端统计的计算方面取得了重大进展，无论是通过直接数值模拟还是通过间接方法，如大偏差理论。

极端事件概率

尽管这些方法估计了极端事件的概率分布，但它们并没有告诉我们导致极端事件的潜在机制，也没有能力预测单个极端事件。

对于在平衡附近运行的系统或几乎可积的系统，扰动方法已成功识别导致极端事件，对于不是这些微不足道极限扰动的系统，缺少探测向极端状态过渡机制的一般框架。

这些系统，如湍流流体流动和水波，通常也是高维和非线性的，其中非线性在许多自由度之间，创建了一个相互依赖的相互作用的复杂网络。

在这里，我们提出了一个变分框架来探测，导致这些高维复杂系统中极端事件的潜在条件，更具体地说，推导出极端事件的前兆，作为有限时间约束优化问题的解。

要最大化的函数，是其时间序列显示极端事件的可观察量，这些约束确保触发器属于系统吸引子，从而反映物理相关的现象。

如果极端事件的生存期与系统的典型动态时间尺度相比较短，则可以用瞬时优化问题代替有限时间优化问题，对于瞬时问题，则推导出欧拉拉格朗日方程，可以使用牛顿型迭代进行数值求解。

我们将变分框架应用于柯尔莫果洛夫流，这是一个由单色体强迫驱动的二维纳维斯托克斯方程。

在足够高的雷诺数下，已知这种流动表现出能量耗散率，首先表明这些极端爆发是由于通过非线性进行内部能量传递，而不是外部强迫的相位锁定。

由于涉及的自由度数量众多，相互作用复杂，因此破译导致极端能量耗散率的模式并不简单，但是我们的变分方法的最佳解，隔离了负责这种能量转移的三元组相互作用。

沿着柯尔莫果洛夫流的轨迹监测这个三元组，我们发现，在极端爆发开始时，能量自发地从大尺度傅里叶模转移到平均流，导致能量输入速率的增长，从而导致能量耗散率的增长。

然后使用派生的大尺度模式作为极端事件的预测因子，具体来说，通过跟踪这种模式的能量，开发了一个数据驱动的柯尔莫果洛夫流间歇性的短期预测器。

为简单起见，将用u表示方程1A到1C的轨迹，X→R表示一个可观测值，其时间序列I沿典型轨迹u表现出间歇性爆发。

利用近乎可积的情况，我们认为该系统由背景混沌吸引子组成，该吸引子具有小的不稳定区域。

一旦轨迹到达不稳定区域，它就会瞬间远离背景吸引子，导致可观察量的时间序列出现突发，在这里的目标，是通过使用来自系统的观测数据和系统的控制方程组合，来探测不稳定区域。

我们还要求在动力系统的自然流动下，不稳定区域具有非零的发生概率，这个约束特别重要，因为它排除了I极端增长但在实践中观察到的概率可以忽略不计的“外来”状态。

将此任务表述为约束优化问题，假设有一个典型的时间尺度，可观测量I中的突发在该尺度上发展。我们寻求初始条件u+0其相关的可观察I在时间τ内达到最大增长。

其中优化变量是初始条件u=u0系统1A至1C，需要一组临界状态来满足等式2B中的约束，以强制实施两个重要属性，第一个属性确保服从控制方程1A到1C，而不是任意的单参数函数族。

第二个属性C=c0，其中CX→Rk，是余维k约束，强制执行此约束以确保发生的非零概率，即足够接近混沌背景吸引子的状态。

概率上可行的状态集，通常可以利用混沌吸引子的基本物理性质来描述，例如沿状态空间不同分量的平均能量或二阶统计。

实验解决方案

我们期望问题2A和2B的一组解决方案，能够解开支撑可观察量间歇性爆发的机制，尽管系统的通用轨迹不太可能完全通过其中一个最大化器，但通过连续性，任何通过最大化器的足够小的开放邻域的轨迹都将导致类似的可观察爆发。

最大化器是相应的有限时间李雅普诺夫向量，在类似的背景下，寻求最佳的有限振幅扰动，以触发管道流中向湍流的转变。

他们将未知最优扰动表述为，类似于方程2A和2B的约束优化问题的解，可观察到的是L2流体速度场的范数。

在考虑了纳维斯托克斯方程的有限时间奇点形成，他们还使用变分方法来寻找可能导致有限时间奇点的初始条件。

在这些研究中，重点是分析最“不稳定”的状态，但没有考虑吸引子的物理性质，求解偏微分方程约束优化问题的标准方法是基于伴随的梯度迭代方法。

这种方法在计算上非常昂贵，因为在每次迭代中，都需要将梯度方向评估为伴随偏微分方程的解。

而大瞬时导数并不一定意味着可观测值的后续爆发，因为增长可能并不总是在以后沿着轨迹持续。

因此这个瞬时问题的解决方案集，可能与有限时间问题有很大不同，尽管如此，瞬时问题的解决方案仍然可以有见地。

而层流解是系统在任何雷诺数处的全局吸引子，如果在较高的波数下施加强迫并且雷诺数足够大，则层流解变得不稳定。

特别是，数值证据表明，对kf=4和足够大的雷诺数，柯尔莫果洛夫流是混沌的，并表现出间歇性的能量耗散爆发。

仔细观察会发现，能量耗散D的每次爆发之前不久，能量输入I就会爆发，因此我们预计能量输入中突发背后的机制也会导致能量耗散中的突发。

检查强迫场和速度场之间的对齐排除了机制，其余机制可以通过纳维-斯托克斯方程中的非线性项来实现。

这种非线性通过波数满足k=p+q的模式的三元相互作用，在各种傅里叶模态之间重新分配系统能量。

由于错综复杂的三元组相互作用网络中涉及大量主动模式，目前尚不清楚哪个三元组负责极端事件期间能量向平均流的非线性传递。

约束施加以确保最优解在物理上是可接受的，也就是说，它们足够接近吸引子，因此具有非零的发生概率。

在大多数应用中，包括柯尔莫果洛夫流，系统吸引子并不明确已知，否则需要确保最佳解决方案的物理相关性。

在每次Re，我们都从随机初始条件启动了几次牛顿迭代，除了一对精确解之外，迭代还产生了一个非平凡解。

对于小的雷诺数，我们的牛顿搜索只返回确切的解，在Re≃3.1处，在一个新的非平凡解诞生的地方发生分叉。

此解决方案似乎是全局最大化器，因为没有找到其他解决方案，由于间歇性爆发仅在Re>35中观察到，因此我们将以下分析重点放在雷诺数范围上。

非平凡最优解随着Re的增加收敛到渐近极限，红色曲线的高原和开头显示的选择解决方案可以看出这一点。

该渐近解中存在的三种最主要的傅里叶模态是强迫波数和波数及其复共轭对，这些波数形成一个三元组，最优解的主导模数对应于模数比其他非零模式大一个数量级。

接下来，我们转向柯尔莫果洛夫流的直接数值模拟，并监测三种傅里叶模态，我们发现，这个三元组内的能量转移支撑着平均流能的间歇性爆发。

能量输入速率的突发几乎与模量的极端下降同时出现，在其他轨迹和较高的雷诺数下也观察到类似的并发行为。

这一观察表明，在爆发之前，模式将其能量预算的很大一部分转移到平均流量通过模式，这导致平均流量的能量增加，从而增加能量输入速率，进而导致能量耗散速率的增长。

可以更进一步，询问能量从模式释放到平均流的原因，这个问题的答案涉及模式的相对阶段及其与其他三合会的相互作用，超出了目前工作的范围。

通过将柯尔莫果洛夫流截断为模式来研究这些相互作用是很诱人的，其复杂的共轭物，不幸的是，这些严重的截断未能阐明，因为截断系统的动力学严重偏离了原始的纳维斯托克斯方程。

预测极端事件

鉴于观察结果，最优解主要由模式组成，我们选择这种模式来制定数据驱动的预测方案，模态的能量降低先于平均流能量的增加，这使得通过观察模量更具体地说，相对较小的λ值，表示能量耗散即将爆发的可能性很高。

寻求合适的值λ0使得λ<λ0预测未来时间间隔内能量耗散的极端爆发，用表示极端事件阈值e，使得D>De构成能量耗散的极端爆发。

即将发生的极端事件的可靠指标，必须最大限度地提高正确拒绝和命中的数量，同时具有最小的假阳性和假阴性。

在近100000次预测中，仅记录了0.26%的假阴性和0.85%的假阳性，命中数为5.6%，正确拒绝数占所有预测的93.3%。

正如在材料中所显示的，这相当于预测极端事件的成功率为95.6%，请注意与命中相比，正确拒绝率很高仅仅是极端事件很少见的结果。

指标的另一个理想属性，是它能够在事件发生之前预测即将到来的极端情况，所选的预测时间大约是涡流周转时间的两倍。

相比之下，能量耗散率大约需要一个涡流周转时间，从预测时间总是可以增加误报或假阴性为代价。

实验命中次数略有下降至5.3%，正确拒绝次数也是如此，这相当于极端事件预测的成功率为82%，因此预测时间仍然产生令人满意的预测。

结论

本文介绍了复杂湍流系统中极端事件前兆的计算方法，结合了从数据中获得的混沌吸引子的基本物理性质，与控制方程诱导的稳定性特性。

该方法表述为约束优化问题，当极端事件的时间尺度较系统的典型时间尺度较短时，可以显式求解。

为了演示这种方法，我们考虑了一个严格的测试用例，即柯尔莫果洛夫流，它有一个具有正李雅普诺夫指数和间歇性极端能量耗散的湍流吸引子。

我们可以正确识别与极端事件相关的三重模式，衍生的前体允许为间歇性爆发制定准确的短期预测方案。结果表明，该方法在高维混沌吸引子系统上具有鲁棒性和适用性，而这样让我们在未来有更好的实践作用。