哈希表和哈希函数

在记录的存储位置和它的关键字之间是建立一个确定的对应关系（映射函数），使每个关键字和一个存储位置能唯一对应。

这个映射函数称为哈希函数，根据这个原则建立的表称为哈希表(Hash Table)，也叫散列表。

以上描述，如果通过数学形式来描述就是：

若查找关键字为 key，则其值存放在 f(key) 的存储位置上。由此，不需比较便可直接取得所查记录。

注：哈希查找与线性表查找和树表查找最大的区别在于，不用数值比较。

冲突

若 key1 ≠ key2 ，而 f(key1) = f(key2)，这种情况称为冲突(Collision)。

根据哈希函数f(key)和处理冲突的方法将一组关键字映射到一个有限的连续的地址集（区间）上，并以关键字在地址集中的“像”作为记录在表中的存储位置，这一映射过程称为构造哈希表。

构造哈希表这个场景就像汽车找停车位，如果车位被人占了，只能找空的地方停。

构造哈希表

由以上内容可知，哈希查找本身其实不费吹灰之力，问题的关键在于如何构造哈希表和处理冲突。

常见的构造哈希表的方法有 5 种：

（1）直接定址法

说白了，就是小学时学过的一元一次方程。

即 f(key) = a * key + b。其中，a和b 是常数。

（2）数字分析法

假设关键字是R进制数（如十进制）。并且哈希表中可能出现的关键字都是事先知道的，则可选取关键字的若干数位组成哈希地址。

选取的原则是使得到的哈希地址尽量避免冲突，即所选数位上的数字尽可能是随机的。

（3）平方取中法

取关键字平方后的中间几位为哈希地址。通常在选定哈希函数时不一定能知道关键字的全部情况，仅取其中的几位为地址不一定合适；

而一个数平方后的中间几位数和数的每一位都相关， 由此得到的哈希地址随机性更大。取的位数由表长决定。

（4）除留余数法

取关键字被某个不大于哈希表表长 m 的数 p 除后所得的余数为哈希地址。

即 f(key) = key % p (p ≤ m)

这是一种最简单、最常用的方法，它不仅可以对关键字直接取模，也可在折叠、平方取中等运算之后取模。

注意：p的选择很重要，如果选的不好，容易产生冲突。根据经验，一般情况下可以选p为素数。

（5）随机数法

选择一个随机函数，取关键字的随机函数值为它的哈希地址，即 f(key) = random(key)。

通常，在关键字长度不等时采用此法构造哈希函数较为恰当。

解决冲突

设计合理的哈希函数可以减少冲突，但不能完全避免冲突。

所以需要有解决冲突的方法，常见有两类

（1）开放定址法

如果两个数据元素的哈希值相同，则在哈希表中为后插入的数据元素另外选择一个表项。

当程序查找哈希表时，如果没有在第一个对应的哈希表项中找到符合查找要求的数据元素，程序就会继续往后查找，直到找到一个符合查找要求的数据元素，或者遇到一个空的表项。

例子

若要将一组关键字序列 {1, 9, 25, 11, 12, 35, 17, 29} 存放到哈希表中。

采用除留余数法构造哈希表；采用开放定址法处理冲突。

不妨设选取的p和m为13，由 f(key) = key % 13 可以得到下表。

需要注意的是，在上图中有两个关键字的探查次数为 2 ，其他都是1。

这个过程是这样的：

a. 12 % 13 结果是12，而它的前面有个 25 ，25 % 13 也是12，存在冲突。

我们使用开放定址法 (12 + 1) % 13 = 0，没有冲突，完成。

b. 35 % 13 结果是 9，而它的前面有个 9，9 % 13也是 9，存在冲突。

我们使用开放定址法 (9 + 1) % 13 = 10，没有冲突，完成。

（2）拉链法

将哈希值相同的数据元素存放在一个链表中，在查找哈希表的过程中，当查找到这个链表时，必须采用线性查找方法。

在这种方法中，哈希表中每个单元存放的不再是记录本身，而是相应同义词单链表的头指针。

例子

如果对开放定址法例子中提到的序列使用拉链法，得到的结果如下图所示：

实现一个哈希表

假设要实现一个哈希表，要求

a. 哈希函数采用除留余数法，即 f(key) = key % p (p ≤ m)

b. 解决冲突采用开放定址法，即 f2(key) = (f(key)+i) % size (p ≤ m)

（1）定义哈希表的数据结构

class HashTable {

public int key = 0; // 关键字

public int data = 0; // 数值

public int count = 0; // 探查次数

}

（2）在哈希表中查找关键字key

根据设定的哈希函数，计算哈希地址。如果出现地址冲突，则按设定的处理冲突的方法寻找下一个地址。

如此反复，直到不冲突为止（查找成功）或某个地址为空（查找失败）。

/**

* 查找哈希表

* 构造哈希表采用除留取余法，即f(key) = key mod p (p ≤ size)

* 解决冲突采用开放定址法，即f2(key) = (f(key) + i) mod p (1 ≤ i ≤ size-1)

* ha为哈希表，p为模，size为哈希表大小，key为要查找的关键字

*/

public int searchHashTable(HashTable[] ha, int p, int size, int key) {

int addr = key % p; // 采用除留取余法找哈希地址

// 若发生冲突，用开放定址法找下一个哈希地址

while (ha[addr].key != KEY && ha[addr].key != key) {

addr = (addr + 1) % size;

}

if (ha[addr].key == key) {

return addr; // 查找成功

} else {

return FAILED; // 查找失败

}

}

（3）删除关键字为key的记录

在采用开放定址法处理冲突的哈希表上执行删除操作，只能在被删记录上做删除标记，而不能真正删除记录。

找到要删除的记录，将关键字置为删除标记DELKEY。

public int deleteHashTable(HashTable[] ha, int p, int size, int key) {

int addr = 0;

addr = searchHashTable(ha, p, size, key);

if (FAILED != addr) { // 找到记录

ha[addr].key = DELKEY; // 将该位置的关键字置为DELKEY

return SUCCESS;

} else {

return KEY; // 查找不到记录，直接返回KEY

}

}

（4）插入关键字为key的记录

将待插入的关键字key插入哈希表

先调用查找算法，若在表中找到待插入的关键字，则插入失败；

若在表中找到一个开放地址，则将待插入的结点插入到其中，则插入成功。

public void insertHashTable(HashTable[] ha, int p, int size, int key) {

int i = 1;

int addr = 0;

addr = key % p; // 通过哈希函数获取哈希地址

if (ha[addr].key == KEY || ha[addr].key == DELKEY) { // 如果没有冲突，直接插入

ha[addr].key = key;

ha[addr].count = 1;

} else { // 如果有冲突，使用开放定址法处理冲突

do {

addr = (addr + 1) % size; // 寻找下一个哈希地址

i++;

} while (ha[addr].key != KEY && ha[addr].key != DELKEY);

ha[addr].key = key;

ha[addr].count = i;

}

}

（5）建立哈希表

先将哈希表中各关键字清空，使其地址为开放的，然后调用插入算法将给定的关键字序列依次插入。

public void createHashTable(HashTable[] ha, int[] list, int p, int size) {

int i = 0;

// 将哈希表中的所有关键字清空

for (i = 0; i < ha.length; i++) {

ha[i].key = KEY;

ha[i].count = 0;

}

// 将关键字序列依次插入哈希表中

for (i = 0; i < list.length; i++) {

this.insertHashTable(ha, p, size, list[i]);

}

}

完整代码

class HashTable {

public int key = 0; // 关键字

public int data = 0; // 数值

public int count = 0; // 探查次数

}

public class HashSearch {

private final static int MAXSIZE = 20;

private final static int KEY = 1;

private final static int DELKEY = 2;

private final static int SUCCESS = 0;

private final static int FAILED = 0xFFFFFFFF;

/**

* 查找哈希表

* 构造哈希表采用除留取余法，即f(key) = key mod p (p ≤ size)

* 解决冲突采用开放定址法，即f2(key) = (f(key) + i) mod p (1 ≤ i ≤ size-1)

* ha为哈希表，p为模，size为哈希表大小，key为要查找的关键字

*/

public int searchHashTable(HashTable[] ha, int p, int size, int key) {

int addr = key % p; // 采用除留取余法找哈希地址

// 若发生冲突，用开放定址法找下一个哈希地址

while (ha[addr].key != KEY && ha[addr].key != key) {

addr = (addr + 1) % size;

}

if (ha[addr].key == key) {

return addr; // 查找成功

} else {

return FAILED; // 查找失败

}

}

/**

* 删除哈希表中关键字为key的记录

* 找到要删除的记录，将关键字置为删除标记DELKEY

*/

public int deleteHashTable(HashTable[] ha, int p, int size, int key) {

int addr = 0;

addr = searchHashTable(ha, p, size, key);

if (FAILED != addr) { // 找到记录

ha[addr].key = DELKEY; // 将该位置的关键字置为DELKEY

return SUCCESS;

} else {

return KEY; // 查找不到记录，直接返回KEY

}

}

/**

* 将待插入的关键字key插入哈希表

* 先调用查找算法，若在表中找到待插入的关键字，则插入失败；

* 若在表中找到一个开放地址，则将待插入的结点插入到其中，则插入成功。

*/

public void insertHashTable(HashTable[] ha, int p, int size, int key) {

int i = 1;

int addr = 0;

addr = key % p; // 通过哈希函数获取哈希地址

if (ha[addr].key == KEY || ha[addr].key == DELKEY) { // 如果没有冲突，直接插入

ha[addr].key = key;

ha[addr].count = 1;

} else { // 如果有冲突，使用开放定址法处理冲突

do {

addr = (addr + 1) % size; // 寻找下一个哈希地址

i++;

} while (ha[addr].key != KEY && ha[addr].key != DELKEY);

ha[addr].key = key;

ha[addr].count = i;

}

}

/**

* 创建哈希表

* 先将哈希表中各关键字清空，使其地址为开放的，然后调用插入算法将给定的关键字序列依次插入。

*/

public void createHashTable(HashTable[] ha, int[] list, int p, int size) {

int i = 0

// 将哈希表中的所有关键字清空

for (i = 0; i < ha.length; i++) {

ha[i].key = KEY;

ha[i].count = 0;

}

// 将关键字序列依次插入哈希表中

for (i = 0; i < list.length; i++) {

this.insertHashTable(ha, p, size, list[i]);

}

}

/**

* 输出哈希表

*/

public void displayHashTable(HashTable[] ha) {

int i = 0;

System.out.format("pos:\t", "pos");

for (i = 0; i < ha.length; i++) {

System.out.format("%4d", i);

}

System.out.println;

System.out.format("key:\t");

for (i = 0; i < ha.length; i++) {

if (ha[i].key != KEY) {

System.out.format("%4d", ha[i].key);

} else {

System.out.format(" ");

}

}

System.out.println;

System.out.format("count:\t");

for (i = 0; i < ha.length; i++) {

if (0 != ha[i].count) {

System.out.format("%4d", ha[i].count);

} else {

System.out.format(" ");

}

}

System.out.println;

}

public static void main(String[] args) {

int list = { 3, 112, 245, 27, 44, 19, 76, 29, 90 };

HashTable ha = new HashTable[MAXSIZE];

for (int i = 0; i < ha.length; i++) {

ha[i] = new HashTable;

}

HashSearch search = new HashSearch;

search.createHashTable(ha, list, 19, MAXSIZE);

search.displayHashTable(ha);

}

}

参考资料

《数据结构习题与解析》（B级第3版）

转自：静默虚空

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