提要

运用不等式的基本性质解一元一次不等式的步骤如下：去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1。特别应当注意，不等式的两边都乘以或除以同一个负数时，不等式的方向必须改变。解不等式时要熟练掌握以上的五步法，又要根据不等式的特征灵活运用方法，使过程简便。解一元一次不等式时，应先观察各项的特征，然后根据其特征选择恰当的方法求解，往往有更简洁的方法。

知识全解

一．一元一次不等式的概念

一般的，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

一元一次不等式经过变形化简后，都能化成ax >b或ax<b的最简形式。

提示

(1)一-元一次不等式必须同时具备三个备件：不等式只含有一个未知数；未知数的次数为1；不等式两边必须是整式。

(2)注意，一元一次方程和一元一次不等式既有联系，又有区别。

相同点：二者都只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是等式。

不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“<”，“>”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“=”连接，等号没有方向。

二．一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤如下：

(1) 去分母。利用不等式的性质2，在不等式的两边同乘分母的最小公倍数（正数）。

(2) 去括号。利用去括号法则去掉不等式两边的括号。

(3) 移项。利用不等式的性质1，不等式的两边同加上（或减去）同一个数（或式子），使不等式变形为一边含有未知数，另一边不含未知数的形式。

(4) 合并同类项。利用合并同类项法则对不等式两边分别进行合并。

(5) 将未知数的系数化为1。利用不等式的性质2或性质3，将不等式的两边都除以未知数的系数，使不等式化为x>1(或x<a)的形式。

提示

解不等式的五个步骤不一定都会用到，并且不一定按照顺序进行，要根据不等式的形式灵活安排求解步骤。系数化为1时应根据不等式的性质2或3来决定不等式的方向是否发生变化。

方法点拨

类型1 一元一次不等式的识别

例1 下列不等式中，一元一次不等式是（）

【分析】根据一元一次不等式的概念进行判断，A是一元一次不等式；B是不等式，但没有未知数；C是二元一次不等式；D中的未知数的最高次数是2。

【解答】选A

【方法总结】可以结合一元一次方程的定义判定一元一次不等式，把等号换成不等号即可。

类型2 解一元一次不等式

例2 解不等式

并把它的解集在数轴上表示出来。

【分析】求一元一次不等式解集的步骤和解一元一次方程的步骤基本相同，去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1。

【解答】去分母：6(2x-1)≥10x+1

去括号：12x-6≥10x+1

移项：12x-10x≥6+1

合并同类项：2x≥7

化系数为1：x≥7/2

【方法总结】解不等式时，常常出现和解方程类似的错误，如去分母漏乘，移项时没有改变该项的符号，这就要求我们在具体解题过程中，尽量避免这些错误的产生，在系数化为1的时候，首先要看清系数的符号，从而确定不等号的方向改变与否。

例3 解不等式：

【分析】根据分数的基本特征，将不等式两边的每个分母化成整数后，去分母求解。

【解答】由不等式变形得

两边同乘以2得15x-35-4(x-0.5)-10x≥20

去括号、移项、合并同类项得x≥53

【方法总结】根据分数的基本性质，将不等式两边的每个分母化成整数，分子，分母同乘以一个数，要根据分母中所含的小数来确定，原则上既要使分母化成整数，又要使所乘的数尽可能得小。

例4 解不等式：3(3-2x) +2(2x-3) <3(2x-3).

【分析】注意，题目两次出现2x-3，又3-2x是2x-3的相反数，即3-2x=-(2x-3)故把(2x-3)作为一个整体进行合并，可以减少去括号的麻烦。

【解答】原不等式化为-3(2x-3) +2(2x-3) -3(2x-3)<0。

(-3+2-3)(2x-3)<0

即-4(2x-3)<0

两边除以-4．得2x-3>0

故x>3/2

【方法总结】本题如果先去括号，由于项数多，移项、合并同类项就很繁杂，根据不等式括号内代数式的特征，把（3 -2x）看作一个整体，带括号进行移项、合并同类项运算就会简便很多。

类型3 求字母的值

例5 关于x的不等式-2x+a≥2的解集如下图所示，a的值是( )

A．0 B．2 C．-2 D．-4

【分析】可以通过原不等式-2x+a≥2求出其解集；由数轴观察得出解集x≤-1，因为都是原不等式的解集，从而建立等式求出字母的值，

【解答】由不等式得-2x≥2-a，所以x≤(a-2)/2。通过观察数轴，可以看到不等式的解集为x≤-1。由于这两个解集是一样的，所以(a-2)/2=-1，解得a=0。故选A

【方法总结】这是一道典型的逆向思维的题目，已知不等式的解集求a的值。可以这样考虑：一方面，通过原不等式求出其解集；另一方面，由数轴观察得出解集。这两方面的意思是一致的，从而建立等式求出字母的值。

类型4 求整数解

例6求不等式

的非负整数解。

【分析】解不等式，求出解集，从解集里找出非负整数解。

【解答】去分母，得2(x-3)-(6x-1)>-18

去括号，得2x-6-6x+1>-18

移项，合并同类项，得-4x>-13

系数化为1，得x<13/4

所以，不等式得非负整数解是0，1，2，3

【方法总结】按解不等式的一般步骤求解不等式，应特别注意符号，最后在解集中找出特殊的解。

类型5 定义新运算

例7 现定义一种运算“*”，其规则为a*b=a+2b，根据这个规则，不等式(x-6)*2>0的解集为___

【分析】要求出(x-6)*2>0的解集，就必须按新的运算规则把它化为x-6+4>0，再进一步解这个不等式。

【解答】x>2

【方法总结】本题是在已有的认知的基础上设计的一种陌生数学情景，通过阅读相关的信息，根据题中引入的新运算来解这类题型，它主要是考察学生对符号语言，文字语言的翻译能力。解决本题的关键是读懂题意，注意信息向已有的知识转化。