我在《古希腊到底有什么科学之一——希腊化时代的科技成就怎么算？》一文中曾经提到过近现代科学史著作的西方中心论问题。在世界古代科技史的记录中，对于古埃及、古巴比伦、古中国等文明古国所做出的贡献，要么是只字不提，要么是给予极小的篇幅，而将大量的篇幅都留给了古希腊。这是极不公平的。因为作为次生文明，古希腊的大量科技知识都是源自古埃及和古巴比伦。虽然说青出于蓝却往往胜于蓝，但是如此厚此薄彼，让人胸臆难平。而当你了解到古希腊所取得的进步，你的这种感觉会更加强烈。

本文简要介绍一下古埃及古巴比伦和古希腊的计数系统和最基本的四则运算。这三个文明介绍的篇幅基本相同，此举并非是为了平均而平均，不是为了营造政治正确，而是自然而然形成的，三者之间并没有哪一家更为突出，需要巨量的篇幅去介绍。都是正常的历史进程和发展，对哪一家介绍的过于突出才是厚此薄彼。通过这些介绍，可以了解三者计数、四则运算及其区别，看看作为老师的古埃及和古巴比伦为古希腊人做出了怎样的奠基，作为学生的古希腊人在计数和运算上究竟取得了哪些进步。

计数和四则运算是代数学的基础，没有成熟的计数和四则运算，是不可能发展出发达的代数学的。三者的计数和四则运算水平是解读其代数学水平和能力的基础。

一、古埃及的计数和四则运算

古埃及和古巴比伦文明相互影响，相互成就，又独立发展，很难说二者间谁是最早的文明创造者。这悠久的文明不可能没有任何数学的基础。

不可否认的是，象形文字依旧是最为古老的文字。几乎可以认为，历史上所有的书写系统都是从象形而来。因此，古埃及的累积型象形系统可以体现最为元初的人类计数系统。

我们目前对于古埃及数学的了解主要来自两份古老的文献。虽然根据现代普遍的认知，象形文字在公元前3200多年前就已经开始使用了，但是这两份文献给我们呈现出的是一个完善的成熟的数字记录系统。过于古早、模糊不清的还是留给考古学家吧！

一份是莫斯科纸草书。莫斯科纸草书又叫戈列尼雪夫纸草书，1893年由俄国贵族戈列尼雪夫在埃及购得，现藏莫斯科普希金精细艺术博物馆。据研究，这部纸草书是出自第十二王朝一位佚名作者的手笔（约公元前1890年），用僧侣文写成。莫斯科纸草书长 544 厘米，宽 8 厘米，至今保存完好，内容主要是数学问题和解答，包含了25个问题。

一份是莱因德纸草书。莱因德纸草书是公元前1650年左右的埃及数学著作，作者是书记官阿默斯。内容似乎是依据了更早年代（1849 B.C. ─1801 B.C.）的教科书，是为当时的包括贵族、祭司等知识阶层所作，最早发现于埃及底比斯（今卢克索附近）的废墟中。公元1858年由英国的埃及学者莱因德购得，故名。现藏于伦敦大英博物馆。该纸草书全长544厘米，宽33厘米。纸草书收有 85 个数学问题和解答，内容涉及到财政支出等问题，并带有标题。在标题中，作者把数学评论为“获得一切奥秘的指南”。

古埃及人的计数系统如上图所示。

古埃及人采用的是十进制的计数系统，灵感来源于我们的十个手指。他们用一条竖线来代替1，一根膝骨代替10，绳索代表100，一株莲花代表1000，一根手指代表10000，一只青蛙代表100000，而一个举着双手的人代表着1000000。

这些象形文字很美，但是在埃及人的计数系统之中，没有位的概念。所以在表示5000000的时候，古埃及人是把那个举手的人重复画5次。虽然你可以用象形文字的一个字符来表示100万，而不是我们常用的七个字符，但是如果你要写999999，可怜的古埃及计数员，就不得不写下九条竖线，九根膝骨，九盘绳索等等，共计54个字符，如下图所示。比如，12427就如上图最下方所示。

在算术的四则运算中，古埃及人实际上只是通过加法来完成的，减法是加法的逆过程，乘法则是转化成加减法步骤来进行运算的。

在古埃及的计数方法中，本身就包含了加法的概念，只需要将表示数量的符号堆积在一起就行了。但是如果合并之后的某种符号数量超过了10个，就要用更高一级的符号来替换掉。

减法是加法的逆过程，就是从被减数中去掉减数的符号。

古埃及人没有专门的乘除符号，他们用一双走近的腿表示相加，离开的腿表示减号。两个文献也展示了乘法和除法当时是如何实现的，它们是以加减法为基础的，这很符合乘除法的计算原理。嗯，如果想吹一下牛的话，也可以说，古埃及的乘法运算方法中给出二进制的基本思想。

乘法是多个相同数字的相加。比如3*6就是6+6+6。

在做乘法时, 只是把乘数和被乘数一次次地相加，直到约数为止。以 13ⅹ23 为例。

首先，将13拆分为1+4+8；

再分别计算1*23，2*23（即23+23=46），4*23（即46+46=92），8*23（即92+92=184）；

最后，将各项分别相加：（1+4+8）*23=23+92+184=299。

除法是乘法的逆过程。以299除以23为例。

先将上面的表列出来。

用299-184=115；115-92=23；23减不出46了，于是2被跳过；23-23=0。

最后，1+4+8=13。

古埃及的分数系统也很有意思。古埃及的分数系统很可能是从市场中交易量的分配中发展而来的，为了记录这些交易，古埃及人针对这些数字发明了新的表示法。

著名的荷鲁斯之眼源自于鹰神荷鲁斯(Horus)的眼睛被赛特神分割成碎片的古老神话。荷鲁斯之眼各部分代表的分数含义，荷鲁斯之眼被当作容积单位的分数来使用。其中右眼角代表1/2，眼球代表1/4，眉毛代表1/8，左眼角代表1/16，眼睫毛代表1/32，眼泪代表1/64。这种表示暗示了增加更多分数的可能，每次减半总和无限接近1，却永远达不到1，这是等比数列和几何基数的出现。莱茵德纸草书里出现过许多次类似问题，嗯，想吹一下牛的话，也可以拿出无穷级数的概念比划一下。

古埃及分数一般分子均为1（除了极少数个例，像2/3是有单独文字的）。比如3/5要写成（1/2+1/10），还不能写成3个1/5相加。为什么会这样呢？这个看似很愚蠢的方法其实自有其妙处。

比如5个人分3块面包，现代人算法实际上是将3块面包各切3/5分给3个人，那么那剩下2个人怎么办？他们怎么去分3个只剩下2/5的面包？这样公平吗？一种兼顾公平的方法就是将3块面包都平均分为5块，也就是3个1/5相加（1/5+1/5+1/5），这样倒是公平了，可是效率呢？古埃及人的分法，是将2块面包各切1/2，剩下一块切1/2之后，再切成1/10，这样每个人都是1/2+1/10块面包，兼顾了公平与效率。分面包似乎不必这么麻烦。那么分土地呢？我们知道尼罗河是古埃及的母亲河，她每年泛滥，泛滥后留下肥沃的土地。因此古埃及每年都要对土地进行分配，这可是关系到切身经济利益的问题啊！古埃及人在这个问题上较一下真也是可以理解的。古埃及的数学就是依托这样极为实用的用处而存在的，他们对于进一步发展数学，比如发展出3/5，不感兴趣，因为没有用处。对于他们来讲，够用就行。

古埃及的分数表示如下图所示。

对分数的运算方法和基本的四则运算相似，都是通过拆分化为最基本的加减法。但是每次都计算一遍实在太麻烦了。好在生活中并不是每次都需要这么复杂。古埃及人早就总结出了一个表，内容是拆分从2/5到2/99的那几十个分子为2的分数，如2/5=1/3+1/15，2/7=1/4+1/28，依次类推，他们需要的时候去查就是了。兰德纸草卷里完整保存了这个表。

埃及人在发明了包括分数在内的计数体系后，就将其应用到日常图形中。古埃及人在几何学上的突出成就是计算圆面积的方法，在莱茵德纸草书里古埃及人给出了圆的各种问题的计算方法。莱茵德纸草书里指出一块儿直径为九个单位的圆形土地的面积接近于一块边长八个单位的正方形土地面积。因为圆的面积是pi乘以半径的平方，所以埃及人的算法首次给出了圆周率π的准确值，圆的面积是64除以半径4.5的平方，约为3.16。

莫斯科纸草书中，人们发现了削顶金字塔的体积计算公式，这是工程中微积分的最早出现。对于像埃及这种以金字塔著称的国家，类似的问题在数学文献中会非常常见。

莱茵德纸草书还提到了一个等比数列，其中包含数字 7、49、343、2401、16807。3000 年后，中世纪意大利数学家斐波那契在考虑这个问题时，在他的《算盘之书》 中给出了如下问题：有 7 名老妇人去往罗马，每位妇人有 7 头骡子，每头骡子担着 7 个口袋，每只口袋里装着 7 个面包，每个面包附有 7 把餐刀，每把餐刀有 7 只刀鞘，则刀鞘有多少只？而《数学史讲义》的作者莫里茨·康托尔也如此解读阿默士之谜：有 7 个人，每人有 7 只猫，每只猫吃7 只老鼠，每只老鼠吃 7 根大麦穗，从每根大麦穗中可以长出7 颗大麦粒。一共有多少人、猫、老鼠、麦穗和麦粒？阿默士给出的这一等比数列的和为 19607。因此，我们可以说阿默士纸草书既揭示了等差数列的知识，又介绍了等比数列的知识。

古埃及人的数学产生于生活和实践，并广泛应用于生产实践。他们计算赋税、丈量土地、测量距离、计算时间，并没有使用更高深的抽象的数学理论，而只是运用简单的算术，以具体图形提供实际的解决办法。尽管他们的计算方法非常原始，他们的数字写法十分繁琐，他们却能够计算出三角形、长方形、梯形和圆的面积，计算出各种几何图形的体积，能够解一元一次方程。还可以解一些特殊类型的二次方程。

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