数学模型并不能完美地预测现实世界中会发生什么，但它们可以为问题的关键要素提供重要的见解。

微分方程和数学建模可用于研究广泛的社会问题。

微分方程具有预测我们周围世界的非凡能力。

它们用于生物学、经济学、物理学、化学和工程学等多种学科。它们可以描述指数增长和衰退、物种的种群增长或投资回报随时间的变化。微分方程是以 dy/dx = ……… 的形式写成的。其中一些可以简单地通过积分来解决（得到 y = .....），而另一些则需要更复杂的数学。

在常微分方程课程中与数学自然契合的主题包括人口问题的各个方面：

人口增长，人口过剩，生态系统的承载能力，收获的影响，如狩猎或捕鱼，关于种群以及过度捕捞如何导致物种灭绝，多个物种种群之间的相互作用，例如捕食者 - 猎物，合作和竞争物种。

美国作家Jared Diamond的《崩溃：社会如何选择失败或成功》一书考察了历史上已经消亡的人类社会，导致它们崩溃的因素，以及我们为防止当今全球社会崩溃而可能学到的教训。

一个说明性的例子，想象一下纽芬兰附近 Grand Banks 地区的渔民，他们每年都会收获（捕获）一定数量的鱼群。

首先，有一定数量的渔民参与其中，他们每年捕获的鱼量大致恒定。我们是否应该让更多可能拥有先进捕鱼技术的渔民加入狩猎？

一个合理的回应可能是，为了避免过度捕捞的危险，我们可以允许少数额外的渔民加入。 我们预计，这种变化将使捕鱼量相对较小地增加，从而以同样适度的幅度减少大浅滩的鱼类数量。 然而，事实证明，这种看似合理的策略可能被危险地误导。

在数学上，可以通过以下形式的微分方程模拟人口增长和收获：

其中 P(t) 是人口，k 是增长率，N 是承载能力，

是收获水平。

对这个方程在不同捕捞水平下的解的研究表明存在临界捕捞水平；

从技术上讲，它被称为分岔值。

如果捕捞水平增加到超过这个临界值，即使是非常轻微的，那么该模型预测鱼类种群将急剧下降，可能导致灭绝或濒临灭绝。

这个故事的寓意是，如果一个人不幸接近临界收获值，那么即使收获水平的微小增加也会对人口产生灾难性的影响。 因此，当增加收获水平时，即使是少量，也要非常小心，以免我们无意中造成种群崩溃。

这里有一个例子，数学为我们提供了一个与我们的自然直觉背道而驰的关键洞察。

“复活节的暮光之城”一章，探讨了复活节岛上社会的崩溃，那里有著名的石像。

人们了解到，崩溃的一个主要因素是岛上的森林被完全砍伐，他们不禁想知道一个社会怎么会如此短视，以至于砍掉所有的树木。没有人注意到树木数量急剧减少吗？

为什么没有人采取措施解决这一问题？一般情况下，人们会有点沾沾自喜，他们会比复活节岛民更聪明。

玩一个游戏，由 Dennis Meadows 创建的模拟游戏 Fishing Banks, Ltd.。在这个游戏中，人们管理自己的捕鱼船队，以实现利润最大化。

随着时间的推移，总会发生的事情是，建立大型捕鱼船队以最大化他们的短期利润，过度捕捞鱼类种群并导致鱼类种群崩溃灭绝。

在这一点上，没有更多的鱼可捕，鱼类公司破产，因此无法实现利润最大化的目标。

即使团队在每轮比赛后获得关于他们捕获的鱼量的反馈，也会发生人口崩溃。当他们注意到库存正在减少时，他们所做的修正太少也太迟了，无法阻止灭绝。

既然人们对过度捕捞现象有了深刻的理解，我们对模拟这种情况的微分方程进行数学分析。数学模型可以用来预测和解释人口崩溃现象，从而可以抵消鼓励过度捕捞资源的许多压力。

数学建模与政府和商业政策制定之间是相互作用的。

为什么即使建模可以预测负面后果，如过度捕捞或气候变暖，但让社会采取预防措施却如此困难？

对数学有深刻理解的领导人可能会更好地为社会服务。（完）

亲爱的数据，出品