巧用隐圆求解旋转中的最值问题

通常情况下，旋转变换是可以与圆的相关知识联系起来，因此在最值问题大家庭中，除了“两点之间线段最短”和“垂直线最短”之外，有了圆的加盟，形式更加丰富了，在圆内涉及到的最值定理有“直径是圆内最长的弦”，圆外(内)一点到圆周上某点的距离等，解决问题的关键是思维能够导向上述常规常法。

题目

在平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点O(0,0)，点A(0,3)，点C(5,0)，以点C为中心，顺时针旋转矩形OABC，得到矩形CDEF，点O、A、B的对应点分别为D、E、F.

(1)如图1，当点D落在AB边上时，求点D的坐标；

(2)如图2，当点D落在线段AE上时，CD与AB相交于点H.

①求证：△ADC≌△AOC；②求点H的坐标；

(3)记K为矩形OABC对角线的交点，S为△KDE的面积，请直接写出S的取值范围.

解析：

(1)由旋转可知CD=CO=5，而BC=3，因此在Rt△BCD中，由勾股定理可求出BD=4，从而得到AD=1，所以D(1,3)；

(2)当点D落在AE上，即意味着∠ADC=90°，△ADC与△AOC是直角三角形，且斜边重合，直角边是旋转得到，因此利用HL判定它们全等。然后设H点横坐标为x，即AH=x，由全等可知∠ACD=∠ACO，而矩形告诉我们AB∥OC，得到∠ACO=∠BAC，因此∠BAC=∠ACD，于是AH=CH=x，在Rt△BCH中，便可利用勾股定理列方程了，BH=5-x，BC=3，得x²=9+(5-x)²，解得x=3.4，于是H(3.4,3)；

(3)这是本题难点，先作出图形进行观察，如下图：

我们发现，其实△EDK的一条边DE是不变的，因此我们只需要考虑它的高，所以过点K作KN⊥直线DE，垂足为N。

那KN究竟如何变化呢？

此时如果能将旋转过程中，点D所在的圆作出来，就方便多了，如下图：

在圆C中，K作为圆内一点，K所在直径两端即为最长或最短处，可利用勾股定理求出AC=√34，则CK=√34/2，于是KN最短时，距离为CN-CK=5-√34/2，KN最长时，距离为CN+CK=5+√34/2，因此对应的面积最大值为15/2+3√34/4和15/2-3√34/4.

解题反思

此题难度并不高，尤其是前两小题，考察学生最基础的几何方法，最后一问中，利用了圆内一点到圆周上某点距离的最值，也是属于圆性质的一部分，涉及到的计算量也不大，只要认真思考，一定能完成。

隐圆的关键在于作出这个圆，或者脑子里有这个圆，实际解题中，这个圆可以不作出来，只要说清楚即可，这也是最后要求直接写出结果的原因之一。

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