几何模型，解三角形

确定三角形，可以根据三角形全等判定条件：AAS，SAS，SSS，ASA

初中阶段给的角度一般都是特殊角(或者可以转化成特殊角，例如15度可以通过2倍角得到30度)

辅助线：通过作高(得到直角三角形)，使特殊角处于直角三角形中。基本原则是不破坏特殊角。

本篇目的在于练习勾股定理和方程，没有用到三角函数。其实三角函数相关题目的辅助线也类似，即作垂线，把角放在直角三角形中来研究。

最后希望大家能够自己动手计算并熟记一些特殊角度三角形的三边比值：

30-30-120三边比值1：1：√3

30-45-105三边比值√2：2：1+√3

45-60-75三边比值2：√6：1+√3

下面是解三角形的训练题目，请用勾股定理和方程解答。

①如图，△ABC，∠B=45°，∠C=30°，AB=2√2，则BC的长是( )。

②如图△ABC中，∠A=120°，AB=2，AC=1。则BC的长是( )。

③如图△ABC中，∠B=135°，AC=√13，BC=2√2，则AB的长是( )。

④如图，△ABC，AB=7，BC=8，AC=5，则∠C的大小是( )度。

⑤已知直角△ABC中，∠B=90°，∠C=15°，BC=1。则△ABC的面积为( )。

⑥如图，△ABC，AB=7，BC=6，AC=5，AD是BC边上的中线，则AD的长是( )。

⑦已知△ABC中，∠A=30°，AC=8，BC=5。则AB的长是( )。

以下是练习题的答案与解析，解题方法多种多样，仅供大家参考。

①答案：2+2√3

解析：过点A作BC的垂线交BC于点D。

则BD=AD=2，所以AC=4

DC=2√3，BC=2+2√3

②答案：√7

解析：过点B作BD垂直CA交CA延长线于点D，

∠BAD=60°，∠ABD=30°。AD=1，BD=√3，

根据勾股定理BC=√7

③答案：1

解析：由于∠B的补角是特殊角45°，延长AB，过点C作CD垂直AB于点D，则三角形BDC是等腰直角三角形，所以BD=CD=2。AC²=AD²+CD²，即13=(AB+2)²+4，AB+2=3，AB=1。

※提示钝角三角形ASS也可以确定三角形。

④答案：60°

解析：过点A作BC的垂线交BC于点D。

根据勾股定理，AD²=AC²-CD²=AB²-BD²

设CD=x，则BD=8-x，有方程5²-x²=7²-(8-x)²

解得x=5/2，所以∠CAD=30°，∠C=60°

⑤答案：(2-√3)/2

解析：构造特殊角，过点A作AD交BC于点D，使∠DAC=15°，则∠ADB=30°

设AB=x，则CD=AD=2x，BD=√3x

因为BD+CD=BC，所以√3x+2x=1，解得x=2-√3

所以三角形面积=(2-√3)/2

⑥答案：2√7

解析：过点A作AE垂直BC，设CE=x

根据勾股定理有AE²=AC²-x²=AB²-(6-x)²

即5²-x²=7²-(6-x)²，解得x=1

AD²=AE²+DE²=28

所以AD=2√7

⑦答案：4√3+3或4√3-3

解析：题中没有给出图形，需要分类讨论

∠B是锐角时，过C作CD垂直AB于点D，

则CD=4，AD=4√3，BD=3，所以AB=4√3+3

∠B是钝角时，过C作CD垂直AB，交AB延长线于点D，

则CD=4，AD=4√3，BD=3，所以AB=4√3-3

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