线性回归可能是最常见的算法之一，线性回归是机器学习实践者必须知道的。这通常是初学者第一次接触的机器学习算法，了解它的操作方式对于更好地理解它至关重要。

所以，简单地说，让我们来分解一下真正的问题：什么是线性回归？

线性回归定义

线性回归是一种有监督的学习算法，旨在采用线性方法来建模因变量和自变量之间的关系。换句话说，它的目标是拟合一条最好地捕捉数据关系的线性趋势线，并且，从这条线，它可以预测目标值可能是什么。

太好了，我知道它的定义，但它是如何工作的呢？好问题！为了回答这个问题，让我们逐步了解一下线性回归是如何运作的：

拟合数据（如上图所示）。计算点之间的距离（图上的红点是点，绿线是距离），然后求平方，然后求和（这些值是平方的，以确保负值不会产生错误的值并阻碍计算）。这是算法的误差，或者更好地称为残差存储迭代的残差基于一个优化算法，使得该线稍微“移动”，以便该线可以更好地拟合数据。重复步骤2-5，直到达到理想的结果，或者剩余误差减小到零。

这种拟合直线的方法称为最小二乘法。

线性回归背后的数学

如果已经理解的请随意跳过这一部分

线性回归算法如下：

可以简化为：

以下算法将基本完成以下操作：

接受一个Y向量（你的数据标签，（房价，股票价格，等等…）

这是你的目标向量，稍后将用于评估你的数据（稍后将详细介绍）。

矩阵X（数据的特征）：

这是数据的特征，即年龄、性别、性别、身高等。这是算法将实际用于预测的数据。注意如何有一个特征0。这称为截距项，且始终等于1。

取一个权重向量，并将其转置：

这是算法的神奇之处。所有的特征向量都会乘以这些权重。这就是所谓的点积。实际上，你将尝试为给定的数据集找到这些值的最佳组合。这就是所谓的优化。

得到输出向量：

这是从数据中输出的预测向量。然后，你可以使用成本函数来评估模型的性能。

这基本上就是用数学表示的整个算法。现在你应该对线性回归的功能有一个坚实的理解。但问题是，什么是优化算法？我们如何选择最佳权重？我们如何评估绩效？

成本函数

成本函数本质上是一个公式，用来衡量模型的损失或“成本”。如果你曾经参加过任何Kaggle比赛，你可能会遇到过一些。一些常见的方法包括：

均方误差均方根误差平均绝对误差

这些函数对于模型训练和开发是必不可少的，因为它们回答了“我的模型预测新实例的能力如何”这一基本问题？”. 请记住这一点，因为这与我们的下一个主题有关。

优化算法

优化通常被定义为改进某事物，使其发挥其全部潜力的过程。这也适用于机器学习。在ML的世界里，优化本质上是试图为某个数据集找到最佳的参数组合。这基本上是机器学习的“学习”部分。

我将讨论两种最常见的算法：梯度下降法和标准方程。

梯度下降

梯度下降是一种优化算法，旨在寻找函数的最小值。它通过在梯度的负方向上迭代地采取步骤来实现这个目标。在我们的例子中，梯度下降将通过移动函数切线的斜率来不断更新权重。

梯度下降的一个具体例子

为了更好地说明梯度下降，让我们看一个简单的例子。想象一个人在山顶上，他/她想爬到山底。他们可能会做的是环顾四周，看看应该朝哪个方向迈出一步，以便更快地下来。然后，他们可能会朝这个方向迈出一步，现在他们离目标更近了。然而，它们在下降时必须小心，因为它们可能会在某一点卡住，所以我们必须确保相应地选择我们的步长。

同样，梯度下降的目标是最小化函数。在我们的例子中，这是为了使我们的模型的成本最小化。它通过找到函数的切线并朝那个方向移动来实现这一点。算法“步长”的大小是由已知的学习速率来定义的。这基本上控制着我们向下移动的距离。使用此参数，我们必须注意两种情况：

学习速率太大，算法可能无法收敛（达到最小值）并在最小值附近反弹，但永远不会达到该值学习率太小，算法将花费太长时间才能达到最小值，也可能会“卡”在一个次优点上。

我们还有一个参数，它控制算法迭代数据集的次数。

从视觉上看，该算法将执行以下操作：

由于此算法对机器学习非常重要，让我们回顾一下它的作用：

随机初始化权重。这叫做随机初始化然后，模型使用这些随机权重进行预测模型的预测是通过成本函数来评估的然后模型运行梯度下降，找到函数的切线，然后在切线的斜率上迈出一步该过程将重复N次迭代，或者如果满足某个条件。梯度下降法的优缺点优点：很可能将成本函数降低到全局最小值（非常接近或=0）最有效的优化算法之一缺点：在大型数据集上可能比较慢，因为它使用整个数据集来计算函数切线的梯度容易陷入次优点（或局部极小值）用户必须手动选择学习速率和迭代次数，这可能很耗时

既然已经介绍了梯度下降，现在我们来介绍标准方程。

标准方程（Normal Equation）

如果我们回到我们的例子中，而不是一步一步地往下走，我们将能够立即到达底部。标准方程就是这样。它利用线性代数来生成权重，可以在很短的时间内产生和梯度下降一样好的结果。

标准方程的优缺点优点无需选择学习速率或迭代次数非常快缺点不能很好地扩展到大型数据集倾向于产生好的权重，但不是最佳权重特征缩放

这是许多机器学习算法的重要预处理步骤，尤其是那些使用距离度量和计算（如线性回归和梯度下降）的算法。它本质上是缩放我们的特征，使它们在相似的范围内。把它想象成一座房子，一座房子的比例模型。两者的形状是一样的（他们都是房子），但大小不同（5米！=500米）。我们这样做的原因如下：

它加快了算法的速度有些算法对尺度敏感。换言之，如果特征具有不同的尺度，则有可能将更高的权重赋予具有更高量级的特征。这将影响机器学习算法的性能，显然，我们不希望我们的算法偏向于一个特征。

为了演示这一点，假设我们有三个特征，分别命名为A、B和C：

缩放前AB距离=>缩放前BC距离=>缩放后AB距离=>缩放后BC的距离=>

我们可以清楚地看到，这些特征比缩放之前更具可比性和无偏性。

从头开始编写线性回归

好吧，现在你一直在等待的时刻；实现！

注意：所有代码都可以从这个Github repo下载。但是，我建议你在执行此操作之前先遵循教程，因为这样你将更好地理解你实际在编写什么代码：

首先，让我们做一些基本的导入：

import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltfrom sklearn.datasets import load_boston

是的，这就是所有需要导入的了！我们使用的是numpy作为数学实现，matplotlib用于绘制图形，以及scikitlearn的boston数据集。

# 加载和拆分数据data = load_boston()X,y = data['data'],data['target']

接下来，让我们创建一个定制的train_test_split函数，将我们的数据拆分为一个训练和测试集：

# 拆分训练和测试集def train_test_divide(X,y,test_size=0.3,random_state=42):    np.random.seed(random_state)    train_size = 1 - test_size    arr_rand = np.random.rand(X.shape[0])    split = arr_rand < np.percentile(arr_rand,(100*train_size))    X_train = X[split]    y_train = y[split]    X_test =  X[~split]    y_test = y[~split]    return X_train, X_test, y_train, y_testX_train,X_test,y_train,y_test = train_test_divide(X,y,test_size=0.3,random_state=42)

基本上，我们在进行

得到测试集大小。设置一个随机种子，以确保我们的结果和可重复性。根据测试集大小得到训练集大小从我们的特征中随机抽取样本将随机选择的实例拆分为训练集和测试集我们的成本函数

我们将实现MSE或均方误差，一个用于回归任务的常见成本函数：

def mse(preds,y):        m = len(y)        return 1/(m) * np.sum(np.square((y - preds)))

为了编写干净、可重复和高效的代码，并遵守软件开发实践，我们将创建一个线性回归类：

class LinReg:    def __init__(self,X,y):        self.X = X        self.y = y        self.m = len(y)        self.bgd = False

现在我们将创建一个方法来添加截距项：

def add_intercept_term(self,X):        X = np.insert(X,1,np.ones(X.shape[0:1]),axis=1).copy()        return X

这基本上是在我们的特征开始处插入一个列。它只是为了矩阵乘法。

如果我们不加上这一点，那么我们将迫使超平面通过原点，导致它大幅度倾斜，从而无法正确拟合数据

缩放我们的特征：

def feature_scale(self,X):        X = (X - X.mean()) / (X.std())        return X

接下来，我们将随机初始化权重：

def initialise_thetas(self):        np.random.seed(42)        self.thetas = np.random.rand(self.X.shape[1])

现在，我们将使用以下公式从头开始编写标准方程：

def normal_equation(self):        A = np.linalg.inv(np.dot(self.X.T,self.X))        B = np.dot(self.X.T,self.y)        thetas = np.dot(A,B)        return thetas

基本上，我们将算法分为三个部分：

我们得到了X转置后与X的点积的逆我们得到重量和标签的点积我们得到两个计算值的点积

这就是标准方程！还不错！现在，我们将使用以下公式实现批量梯度下降：

def batch_gradient_descent(self,alpha,n_iterations):        self.cost_history = [0] * (n_iterations)        self.n_iterations = n_iterations        for i in range(n_iterations):            h = np.dot(self.X,self.thetas.T)            gradient = alpha * (1/self.m) * ((h - self.y)).dot(self.X)            self.thetas = self.thetas - gradient            self.cost_history[i] = mse(np.dot(self.X,self.thetas.T),self.y)        return self.thetas

在这里，我们执行以下操作：

我们设置alpha，或者学习率，和迭代次数我们创建一个列表来存储我们的成本函数历史记录，以便以后在折线图中绘制循环n_iterations 次，我们得到预测，并计算梯度（函数切线的斜率）。我们更新权重以沿梯度负方向移动我们使用我们的自定义MSE函数记录值重复，完成后，返回结果

让我们定义一个拟合函数来拟合我们的数据：

def fit(self,bgd=False,alpha=0.158,n_iterations=4000):        self.X = self.add_intercept_term(self.X)        self.X = self.feature_scale(self.X)        if bgd == False:            self.thetas = self.normal_equation()        else:            self.bgd = True            self.initialise_thetas()            self.thetas = self.batch_gradient_descent(alpha,n_iterations)

在这里，我们只需要检查用户是否需要梯度下降，并相应地执行我们的步骤。

让我们构建一个函数来绘制成本函数：

def plot_cost_function(self):        if self.bgd == True:            plt.plot(range((self.n_iterations)),self.cost_history)            plt.xlabel('No. of iterations')            plt.ylabel('Cost Function')            plt.title('Gradient Descent Cost Function Line Plot')            plt.show()        else:            print('Batch Gradient Descent was not used!')

最后一种预测未标记实例的方法：

def predict(self,X_test):        self.X_test = X_test.copy()        self.X_test = self.add_intercept_term(self.X_test)        self.X_test = self.feature_scale(self.X_test)        predictions = np.dot(self.X_test,self.thetas.T)        return predictions

现在，让我们看看哪个优化产生了更好的结果。首先，让我们试试梯度下降：

lin_reg_bgd = LinReg(X_train,y_train)lin_reg_bgd.fit(bgd=True)mse(y_test,lin_reg_bgd.predict(X_test))OUT:28.824024414708344

让我们画出我们的函数，看看成本函数是如何减少的：

所以我们可以看到，在大约1000次迭代时，它开始收敛。

现在的标准方程是：

lin_reg_normal = LinReg(X_train,y_train)lin_reg_normal.fit()mse(y_test,lin_reg_normal.predict(X_test))OUT:22.151417764247284

所以我们可以看到，标准方程的性能略优于梯度下降法。这可能是因为数据集很小，而且我们没有为学习率选择最佳参数。

未来大幅度提高学习率。会发生什么？不应用特征缩放。有区别吗？尝试研究一下，看看你能不能实现一个更好的优化算法。在测试集中评估你的模型