数量关系

一、工程问题

【核心公式】工作总量＝效率×时间。

【常用方法】赋值法和方程法。

【常考题型】

（1）给定时间型：题干中只出现工作时间，未提及效率关系

解题方法：①赋值总量为时间的公倍数②求出各自的效率③分析求解

（2）效率之比型：题干中效率有比例

解题方法：①赋值效率；②直接赋值各自效率比值③分析求解

（3）效率给出型：直接将效率的具体值给出

解题方法：直接分析求解即可

二、行程问题

【核心公式】路程=速度×时间；S=v×t

【等距离求平均速度】̅= 212/ 1+2

【流水行船问题】

顺流速度＝静水船速+水速

逆流速度＝静水船速-水速

【相遇追及问题】

相遇距离=（大速度+小速度）×相遇时间

追及距离=（大速度-小速度）×追及时间

环线型 n 次相遇，共同行走的距离=n×环线长度

环线型 n 次追及，追及的距离=n×环线长度

【两端相遇问题】

直线型两端出发 n 次相遇，共同行走距离=（2n-1）×两地初始距离

三、排列组合

【基本概念】

加法原理：分类用加法

乘法原理：分步用乘法

A排列：与顺序有关，每个人去做不同的事情

C组合：与顺序无关，每个人去做相同的事情

【拓展题型】

l 捆绑法：相邻问题，将相邻的元素捆绑成一个元素

l 插空法：不相邻问题，先对其他元素排列，然后将不相邻的元素插入空中

l 插板法：N个物分M人，每人至少分一个，共有CM-1（上）N−1（下）

l 错位排列：有 N 封信和 N 个信封，每封信都不装在自己对应的信封里，方案数为DN，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44

四、概率问题

【基本概率】

某种情况发生的概率＝满足条件的情况数÷总的情况数。

【分步乘法型】分步概率 = 满足条件的每个步骤概率之积

【分类加法型】总体概率 ＝ 满足条件的各种情况概率之和

【逆向计算型】某事件的概率 = 1－该事件不发生的概率

五、经济利润问题

【利润折扣问题】

总成本=单个成本×进口量；总售价＝单价×销售量；

利润＝售价-成本；总利润＝总售价-总成本

利润率=利润/成本=售价−成本/成本=/售价成本−1

利润率===-1

【分段计费问题】找到分段节点，分区间讨论计算

六、最值问题

【最不利构造】

l 题型特征：至少……才能保证……

l 解题方法：最不利情形＋1

【数列构造】

l 题型特征：最多……最少……、最少……最多……、排名第……最多（少）………

l 解题方法：

排序，所有元素进行排序

定位，求谁设谁 x

构造，根据题意构造其他元素的值

求和，所有元素求和，解 x

如果求得 x 为小数，问最少向上取整，问最多向下取整

【多集合反向构造】

l 题型特征：多集合题目中，问题中出现，至少……都……的情况下

l 解析策略：采用逆向思考，反向，求和，做差

七、容斥原理

【两集合标准型公式】

||+||−|| =总数−都不满足

【三集合标准】

||+||+||−||−||−||+||=总数−都不满足

【三集合非标准】

|| + || + ||−只满足两个条件的−2×满足三个条件=总数−都不满足

使用场景：当题目中出现（只）满足两个条件时，使用非标准公式

八、几何问题

【公式】n边形的内角和与外角和：内角和=(n-2)×180°，外角和恒等于 360°

【周长】正方形= 4a；长方形= 2(a + b)；圆形= 2r

【面积】

正方形=aa；长方形= ab；圆形= rr；三角形=0.5ah；平行四边形= ah；

梯形=0.5(a+b)h；扇形面积扇形 =/360° ×rr

【表面积】

正方体= 6aa；长方体= 2ab + 2bc + 2ac；球= 4πrr

圆柱表面积= 2πrh + 2πrr；圆柱侧面积= 2πrh；

【体积】

正方体= aaa；长方体= abc；球的体积=4/3rrr；

圆柱= πrrh；圆锥（棱锥）=1/3×底面积×高

九、年龄问题

【核心】每年每人长一岁，两个人的年龄差不变

十、溶液问题

【公式】

浓度=溶质/溶液=盐/盐水总重量=糖/糖水总重量=酒精/酒水总重量

浓度=

十一、牛吃草问题

【题型特征】双排比句，有一定存量的同时又在变化

【核心公式】T = /(−)；（y原有量；x生长速度；N牛数；T时间）

十二、循环周期问题

【核心】

若事物以T为周期，且 A÷T=N 余 a，那么第A项=第 a项

如果可以整除，那么第 A 项=周期中的最后一项，即第 T 项

十三、星期日期问题

【平年与闰年】

口诀：四年一闰，百年不闰，四百年再闰。（闰年366天）

2月：闰年29 天；平年28 天

【星期日期推断】连续 7 天一定包含完整星期

十四、比赛问题

【淘汰赛】

每场比赛淘汰一队，每轮比赛淘汰一半的队伍（如果总数是奇数，保留一半偶数个队伍）

【循环赛】

【单循环赛】每支队伍都要和其他队伍进行一次比赛

N支队伍的总场次是C2N= × ( − 1) × 0.5

【双循环赛】每支队伍都要和其他队伍进行两场比赛（分主场和客场）

N支队伍的总场次是A2N= × ( − 1)

十五、钟表问题

【追及问题】

l 分针速度为 360°/60min=6°/min；时针的速度 30°/60min=0.5°/min

l 一整天分针走24圈，一整天时针走2圈，所以时追分22次，时和分重合 22次，垂直44次（每次重合前后都会呈现两次垂直）

十六、植树问题

【单边线性植树】棵数＝总长÷间隔＋1，总长＝(棵数－1)×间隔

【单边环形植树】棵数＝总长÷间隔，总长＝棵数×间隔

【注意】区分题干中是在马路单边植树还是在马路双边植树

【剪绳问题】将绳子截为 N 段，需要截（N-1）次

十七、天平问题

N 次称量可以从 3的N次方（3N）个物品中，选出具有差异的瑕疵品

十八、空瓶换酒

【解题技巧】M个空瓶换1瓶酒，转化为M-1个空瓶换1个酒

十九、方阵问题

若正方形方阵一边人数为 N，长方形方阵两边人数分别为 M、N，则：

【正方形实心方阵】总人数=NN

【长方形实心方阵】总人数=MN

【正方形方阵】最外层人数=4N-4

【长方形方阵】最外层人数=2(M+N)-4

【方阵相邻两层】人数相差 8 人