1

基础公式法

加法原理：分类的用加法。一件事情，有n类方法可以完成，并且每类方法又分别存在m1、m2、m3…mn种不同方法，则完成这件事情共有m1+m2+m3+…+mn种方法。

乘法原理：分步的用乘法。一件事情，需要n个步骤完成，并且每步又分别存在m1、m2、m3…mn种不同方法，则完成这件事情共有m1×m2×m3×…×mn种方法。

排列：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一列(与顺序有关)，Pmn=Amn=n!(n-m)!=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)

组合：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素组成一组(与顺序无关)，Cmn=Cn-mn=Amnm!=n!m!(n-m)!=n×(n-1)×(n-2)×…×(n-m+1)m×(m-1)×(m-2)×…×1

【例】把4个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子放一个球，有多少种放法?()

A 24 B.4 C.12 D.10

【答案】A

【解析】本题等价于从4个球里挑出4个来排一个顺序：A44=4×3×2×1=24

2

分类讨论法

根据题意分成若干类分别计算。

【例】五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有

A.120种 B.96种 C.78种 D.72种

【答案】C。

【解析】由题意可先安排甲，并按其分类讨论：1)若甲在末尾，剩下四人可自由排，有A (4，4)=24种排法;2)若甲在第二，三，四位上，则有3×3×3×2×1=54种排法，由分类计数原理，排法共有24+54=78种，选C。

3

分布计算法

根据题意，分步计算。

【例】张节目表上原有3个节目，如果保持这三个节目的相对顺序不变，再添加2个新节目，有多少种安排方法?()

A 20 B.12 C.6 D.4

【答案】A

【解析】分步计算：先插第一个节目，有4种方法;再插第二个节目，有5种方法。根据乘法原理，共有不同安排方法4×5=20种。

4

捆绑插空法

相邻问题——捆绑法：先将相邻元素全排列，然后视为一个整体与剩余元素全排列。

不相邻问题——插空法：先将剩余元素全排列，然后将不相邻元素有序插入所成间隙中。

【例】1、A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人必须站一起，共有()种排法。

A. 120 B.72 C.48 D.24

【答案】C

【解析】“相邻问题”，选用捆绑法。先将A、B捆绑在一起，共有A22=2种捆法; 再用它们的整体和C、D、E在一起排，共有A44=24种排法;因此共有不同排法2×24=48种。

2、A、B、C、D、E五个人排成一排，其中A、B两人不站一起，共有()种排法。

A.120 B.72 C.48 D.24

【答案】B

【解析】“不邻问题”，选用插空法。先将C、D、E排成一排共有A33=6种排法;当C、D、E形成四个空时，将A、B插入，共有A24=12种排法;因此共有不同的排法6×12=72种。

5

错位排列法

有n封信和n个信封，则每封信都不装在自己的信封里，可能的方法的种数计算Dn，则D1=0，D2=1，D3=2，D4=9，D5=44，D6=265…(请牢牢记住前六个数)。

【例】五个瓶子都贴了标签，其中恰好贴错了三个，则错的可能情况共有多少种?()

A.6 B.10 C.12 D.20

【答案】D

【解析】先从五个瓶子中选出三个瓶子，共有C35=10种方法;然后对这三个瓶子进行错位排列共有D3=2种方法。因此，所有可能的方法数为10×2=20种。

6

重复剔除法

A.多人排成圈问题N人排成一圈，有

种排法。

B.物品串成圈问题：N个珍珠串成一条项链，有

种串法。

7

多人传球法

M个人传N次球，记

，则与X最接近的整数为传给“非自己的某人”的方法数，与X第二接近的整数便是传给自己的方法数。

【例】四人进行篮球传接球练习，要求每人接球后再传给别人。开始由甲发球，并作为第一次传球，若第五次传球后，球又回到甲手中，则共有多少种传球方式?()

A. 60种 B. 65种 C.70种 D.75种

【答案】A

【解析】五次传球传回甲，中间将经过四个人，将其分为两类：

第一类：传球的过程中不经过甲，

甲→→→→→甲共有方法3×2×2×2=24种

第二类：传球的过程中经过甲，

①甲→→→甲→→甲 共有方法3×2×1×3=18种

②甲→→甲→→→甲 共有方法3×1×3×2=18种

根据加法原理，共有不同的传球方式24+18+18=60种。

常用公式积累：1、数字变化2X、3X、7X、8X的尾数都是以4为周期进行变化的;4X、9X的尾数都是以2为周期进行变化的;

另外5X和6X的尾数恒为5和6，其中x属于自然数。

2、数字变化

对任意两数a、b，如果a-b>0，则a>b;如果a-b<0，则a<b;如果a-b=0，则a=b;< p="">

当a、b为任意两正数时，如果a/b>1，则a>b;如果a/b<1，则a

当a、b为任意两负数时，如果a/b>1，则a<b;如果a b<1，则a="">b;如果a/b=1，则a=b;

对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作商法比较大小时，我们通常选取中间值C，如果a>C，且C>b，则我们说a>b

3、工程问题常用数量关系式

工作量=工作效率×工作时间;工作效率=工作量÷工作时间;

工作时间=工作量÷工作效率;总工作量=各分工作量之和;

注：在解决实际问题时，常设总工作量为1

4、行程问题常用数量关系式

平均速度=

相遇(背离)：路程÷速度和=时间

追及：路程÷速度差=时间

5、方阵问题常用数量关系式

实心方阵：方阵总人数=(最外层每边人数)平方

最外层人数=(最外层每边人数-1)×4

空心方阵：中空方阵的人数=(最外层每边人数)平方-(最外层每边人数-2×层数)平方

6、利润问题常用数量关系式

利润=销售价(卖出价)-成本;

利润率=利润÷成本=(销售价-成本)÷成本=销售价÷成本-1;

销售价=成本³(1+利润率);成本=销售价÷(1+利润率)

7、钟表问题

钟面上按“时”分为12大格，按“分”分为60小格。

每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小格，时针的转速是分针的1/12，两针速度差是分针速度的11/12，分针每小时可追及11/12

8、排列数公式

排列数公式：P(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)，(m≤n)

组合数公式：C(n,m)=P(m,n)÷P(m,m)=(规定C(0,n)=1)。

9、年龄问题

关键在于年龄差不变

几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄

几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差

10、日期问题

闰年是366天，平年是365天

其中：1、3、5、7、8、10、12月都是31天，4、6、9、11月是30天

闰年时候2月份29天，平年2月份是28天。

11、植树问题

要考虑植树的路段是不是封闭的。

封闭时，总棵树=总长÷间距;

不封闭时，总棵树=总长÷间距+1

12、鸡兔同笼问题

注意鸡与兔腿数的差别。有许多问题都可以用鸡兔同笼的思想来解决，只需要列简单的二元一次方程即可。

鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)

(一般将“每”量视为“脚数” )