对称交换法解幻方难题

当幻方的阶数n为大于3的任意整数时可以排列吗？这是数学中的难题，如哥德巴赫猜想。古今中外数学家和数学爱好者，都趋之若鹜，为攻克这一碉堡前仆后继。

幻方，中国古时称“洛书”。传说大禹治水有神龟负数图出洛水助大禹。人们称此数图为“洛书”。儒家称洛书是八卦之源。数学家则定名“九宫格”用于研究数学。九宫格就是3阶幻方。中国一直止步于3阶。近代西方则创造许多方法排列出高阶，不仅排列出平面幻方而且排列出立体幻方。但是任意高阶并没有解决。我的对称交换法解决这一难题。

首先确定幻方是一个平衡体。

它的特点是每行n数和S＝每列n数和S＝对角线上n数和S。

假定这些数字表示重量（斤），给幻方中心一个支点，它就会像天平一样平衡。例如3阶

2 9 4

7 5 3

6 1 8

5是中心点，支点，5左列15斤，右列也是15斤，平衡。不同于天平的是，它还有另一个方向的平衡即上下方的平衡。它成为平行于地面的一个平面。

例如4阶

16 2 3 13

5 18 10 8

9 7 6 12

4 14 15 1

中心点在纵横中线的交点（图中未画出），也是一个平行于地面的平衡体。

其他，概莫能外。

结论，排列幻方就是求取方图数列平衡。就如调整天平使达到水平。

我设计一准幻方模型，其实简单，按数字大小排n行n列，类似幻方，实则不是，但是却是上楼的梯阶。

3阶：

1 2 3

4 5 6

7 8 9

4阶：

1 2 3 4

5 6 7 8

9 10 11 12

13 14 15 16

请仔细看。看出点门道来了吧？n为奇数时，如n＝3，中行中列及对角线上的数和就是幻方和，边行边列不是。n为偶数时，如n＝4，则仅有对角线为幻方和，其他不是。

下一步就是如调整天平一样调整数字使对称于中轴的行或列相等。

经过反复演试，对称行（列）交换n/2个数就可达到目的。

如4阶，n=4，4/2=2，交换对称于中心的2个数。

1行和4行

1 15 14 4

○ ○ ○ ○

○ ○ ○ ○

13 3 2 16

2和15，3和14关于中心换位，奇迹出现，两行相等！

1+15+14+4=13+3+2+16=34。

关于中心的交换实现，完成行，影响列。

同法，2行和3行：

○ ○ ○ ○

12 6 7 9

8 10 11 5

○ ○ ○ ○

5和12，8和9关于中心交换完成行，影响列。

12+6+7+9=8 +10+11+ 5=34

将换位结果图示为模版，可直观变化：

○ ✕ ✕ ○

✕ ○ ○ ✕

✕ ○ ○ ✕

○ ✕ ✕ ○

符号○ 表示不交换的数， ✕ 表示对称于中心的两数交换。实现行列同步交换。

成品：

1 15 14 4

12 6 7 9

8 10 11 5

13 3 2 16

偶数高阶幻方排列都可仿此。不过有的要特殊处理。

如3阶：

1 2 3

4 5 6

7 8 9

n=3，n/2=1.5，非整数。如何进行交换呢？

借助中轴线解决。

3阶数列1 2 3公差为1，中数为2。若1与3换位，首项增2，末项减2。若1与2交换，则首项增1，中项减1。这正好是1与3交换结果的一半。

再以5阶为例，5/2=2.5。非整数。

5阶1行的数列1 2 3 4 5，公差为1。若1与5交换，首项增4，末项减4。若1与3交换，首项增2中项减2。这正是首末交换结果的一半。相对于整数来说我定它为半数交换。

继续3阶：

2 1 3

○ ○ ○

7 9 8

1与2，8与9交换，所谓半数交换。行值不变，列值变了。

○ ○ ○

6 5 4

○ ○ ○

4与6交换为整数交换，增减相等。这里1数，上面半数不是1.5数吗？

如法继续

○ ○ 4

7 5 3

6 9 ○

3与4，6与7属行与行的半数交换。

继续

○ 9 ○

○ 5 ○

○ 1 ○

1与9为整数交换。

全部完成。

2 9 4

7 5 3

6 1 8

我叙述细致繁琐，实际排列简单。

更有简捷的，将准幻方的中轴线和对角线旋转即得（见照片）。

3阶实现了1.5个数的交换。我把它定义为单位幻方，作为元素可以用于高阶。如大家所见的9阶。5阶略有不同，其对角线与中轴的交换实现0.5交换，也用于高阶，这样，任意高阶都可排列。