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“标度律”——大自然的基本原理

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前言:

此刻小伙伴们对“数学基本计算原理”可能比较注意,各位老铁们都想要剖析一些“数学基本计算原理”的相关内容。那么小编在网上汇集了一些有关“数学基本计算原理””的相关内容,希望大家能喜欢,咱们一起来学习一下吧!

人类普遍对蜘蛛这一类的‘节肢动物’多少有些恐惧,尤其是想象一下"蜘蛛放大一百倍"的场景,简直不要太恐怖。

直到我学习了一个科学原理,从此无忧。

因为我知道,放大一百倍的蜘蛛,根本不可能存在,因为它必定会被自身的重量压倒!

这个科学原理,就是今天要与大家分享的——“标度律”(Scaling Law)。

标度律:一种本质性的思维方式

标度律不仅是一个科学定律,更是一种本质性的思维方式。

下面咱们就以“蜘蛛放大”的案例来快速计算一下。

假把蜘蛛等比例放大为原来的倍,那么它的"体积"与“体重”就会变为原来的倍;另一方面,腿的“横截面积”与“最大承重”会变为原来的倍。

也就是说,“体重”比“腿的最大承重”增长得快,总会支撑不住,把腿压折。

你现在可以理解了,为什么大象的腰和腿在比例上那么粗,而蚂蚁那么细了吧。

动物不能按比例线性缩放

因为体积和重量是三维量,而横截面积是二维量。

这种朴素快捷的分析思路,就是典型的“标度思路”。

在所有科学中,均可以使用这种方法来分析问题,是一种最简捷的数学建模方法,将所有非本质性的因素统统忽略,因此也被称为“零阶模型”。

典型应用:大轮船更省燃料?

咱们用同样的思路,来分析另一个问题吧:

运送同一批货物,是用一支大货轮节省燃料,还是用多支小货轮节省燃料呢?

这个问题与前面如出一辙。

假如把轮船放大为原来的倍,那么它的"体积"与“载重”就会变为原来的倍;另一方面,船的“横截面积”与“水的阻力”会变为原来的倍;而燃料的消耗主要取决于水的阻力。

设轮船长度为 L ,咱们可以把上面一段话写成数学公式,即:

可见,轮船越大,运送单位载重所需要的燃料就越少。(伊桑巴德,19世纪英国工程师)

这种现象在经济学中,被称为“规模经济”(Economies of scale),表示规模增大时,效能的提高。

scale,译为“规模”、“标度”、“尺度”、“缩放”均可。

进一步地,咱们来看——

一张涵盖所有物种的‘神奇线图’

首先给大家看一张神奇的线图:把不同物种,以“体重”为横坐标,以“代谢率”为纵坐标,画在一个图中,图中所有动物物种都在一条直线上!

首先要解释一下,该图为“双对数图”,就是说X轴和Y轴都取了对数,这样就可以把不同尺度上的数据画在同一个图中了(注意观察坐标值)。

另外,何为代谢率?其实,代谢率就是生物的功率,也就是消耗能量的速率。比如,人的代谢率约为90瓦,跟一个灯泡差不多。从这个角度讲,生物本身是非常节约能量的。

相比而言,人的“社会代谢率”(包括非生物所需能量,如交通工具耗能)是很大的,估计人均1万瓦。

这张图上的直线,如果用公式表示出来,就是——

其中的“3/4”就是直线的斜率,这就是大名鼎鼎的“代谢标度律”,也称“克莱伯定律”。

代谢标度律,涵盖了令人惊讶的27个数量级,或许是宇宙中最持久、最系统化的标度法则了。——《规模:复杂世界的简单法则》杰弗里 • 韦斯特

如果看到这个公式没有什么感觉,咱们可以举个例子算一下:根据公式,大象的体重是老鼠的1万倍,但它的代谢率只老鼠的1000倍。

这就很有意思了,体重是1万倍的话,细胞数量也是1万倍呀;但是,总体的耗能却只有1000倍,这说明大象每个细胞的耗能只有老鼠的1/10!

要知道,代谢率是生物学的基本速率,它可以确定生物体几乎所有的生命节奏。

幂律

形如的规律,都可称为“幂律”(Power Law)

我们更为熟悉的,可能是,这种规律称为“线性关系”(Linear Relation)。

在普通坐标系下,线性关系画成一条过原点的直线;而幂律关系则是一条曲线。

只有在双对数坐标系下,幂律关系才能画出一条直线,其斜率就等于公式中的指数。

普通坐标与双对数坐标下的 x^(3/4) 函数图

当指数 d<1 时,我们称之为“亚线性”(sublinear),因为它的曲线会越来越低于直线。

当指数 d>1 时,我们称之为“超线性”(superlinear),因为它的曲线会越来越高于直线;这种超线性关系,也就是我们说的“规模经济”,在经济学中也称为“规模收益递增”。

幂律曲线有一个有趣的特征,当你放大其中任意一个部分时,如果不看坐标,你是无法分辨出它是整条曲线的哪一部分,甚至无法分辨出它占整条曲线的比例,这种性质被称为“标度不变性”或“自相似性”,这是幂律的内在属性,同时也是我们后面要讲到的“分形”的内在属性。

线性思维陷阱

自然界中存在大量的是幂律关系;而人类的思维习惯却是线性的。

比如,在医学中,用药量与体重实际上应该是前面所讲的 3/4 幂律关系,而不是线性关系。

1962年,医学界普遍认为,药量与体重是一个简单的正比关系,因此规定了“每千克用药量”这样的标准。在做动物实验时,将对猫来说的安全剂量的药物,按体重比例注射给大象,结果大象在2小时内就死亡了。

这项研究是如此重要,以至于发表在了当年的Science上。

这就是“线性思维陷阱”,有些时候,是过于简单和粗糙,这就有可能带来严重的‘误导性结论’。

这是非常需要注意的。

自然界的大道

除了“代谢标度律”——

当科学家扩大研究的范围时,发现有超过50种这样的标度律部分如下——

变量

对应指数

增长率

3/4

主动脉长度

1/4

基因组长度

1/4

树木高度

1/4

主动脉/树干

3/4

脑容量

3/4

大脑白质体积

5/4

大脑灰质体积

5/4

心率

–1/4

细胞中的线粒体密度

–1/4

黏膜扩散率

–1/4

进化速率

–1/4

寿命

1/4

此表给出的是“分数近似”;实际上,在数据拟合时,得到的指数一定都是小数。

其中负数表示相应的数量会随着规模的扩大而减少,而非增加。例如,随着体重的增长,心率会按照1/4幂律下降,如图——

再观察一下表格,令人吃惊的是,这些标度律对应的指数都接近1/4的整数倍

那么,为什么是“4”?

揭开其神秘面纱之前,咱们先来准备一点关于“分形”的基础知识——

分形:自然之道

分形(Fractal),一个形状被分成数个部分后,每一部分都(至少近似地)是整体缩小后的形状,换言之,分形就是自相似图形

不断地放大来看分形图形

分形是自然的数学,因为它可以描述太多大自然中的形状与现象了。

血管网络、树干树枝、海岸线,这些都是典型的分形形状。

在这个人工制品的世界中,我们不可避免地习惯于通过“欧几里得滤镜”观察世界;我们看到的,都是直线、曲线、平面、曲面这些理想化的元素。要想真正理解自然,就要具有分形思维。

笔者在学生时期用分形方法构造的含粗糙度的表面

分形维度

什么是维度?

我们知道,一条线段,是1维的,当它整体放大为2倍时,长度变为2倍(即 倍)。

一个正方形,是2维的,当其整体放大为2倍时,面积变为4倍(即 倍)。

一个正方体,是3维的,当其整体放大为2倍时,体积变为8倍(即 倍)。

这三条规律,如果把放大2倍改为放大3倍,那么就分别变为

所以,底数是缩放倍率,而指数即维数——

那么,如果是对于分形线段呢?

下图称为“康托尔三分点集”,一条线段,每次只要放大一看,发现它均分成三段,左、右两段有线,中间一段为空——

它的特殊之处就在于,当整体放大为3倍时,长度只变为原来的2倍。咱们按照上面的规律,假设维数为 d,列出方程——

得到,d ~ 0.63。也就是说,这条分形线段的维数为0.63,是一条“不足1维的线”。

那么,有没有超越1维的线呢?

有,请看“科赫线”(Koch curve)——

这种线每次放大为原来的3倍,而总长度却变成原来的4倍,所以——

这里稍微有点难考虑,因为这里的“放大”,是指“线度”上,在X方向上扩展。如果不好理解可参见下图——

计算求得,维数为 d ~ 1.26。

1维是线,2维是面,这个1.26维又是什么呢?

我们称之为“分形维数”,表征分形几何中的维度性质。

一条线的维数,有没有可能接近2,成为一个面呢?

有的,比如说“皮亚诺曲线”(Peano curve)——

曲线可以“完全布满平面”,当放大2倍时,发现长度放大4倍,所以,该曲线就是平面,该曲线的维数为1+1=2。

神奇数字 4 = 3+1

从上面的规律我们可以看到,当d维几何分形充满于d+1维空间时,它的维数即为d+1。

这么说,有没有能充满3维空间的结构呢?

远在天边,近在眼前;这种结构就藏在你的身体里,即“血管网络”——

肝脏的血管网络

所以,血管网络的维度为 3 + 1 = 4

换言之,血管网络的体积正比于尺寸的4次幂——

如果把体积换成表面积呢?即,3维测度降1维变成2维测度,则维数也降1维——(这一点可自己回头用线段、正方形、正方体来验证)

把这两个公式中的尺寸消去,得到——

交换营养的速度(代谢率),就是取决于血管网络的表面积的;而血管体积就对应血液总量,因此——

这就是一种 4 以及 3/4 的由来。

总的来说,生物体虽然外表上看似活在3维空间,但是其内部的分形结构使发挥了最大效益——演化出4维的生物效能

感兴趣的同学可参阅1999年的一篇Science文章:The fourth dimension of life: fractal geometry and allometric scaling of organisms。

讲到这里,我们不禁会想,像生物这样的系统,真的可以用数学物理来破解其复杂性吗?会诞生“生物学的牛顿定理”吗?

复杂性科学

有人请教史蒂芬·霍金,二十一世纪是物理学的世纪,还是生物学的世纪?

霍金道,“二十一世纪将是复杂性科学的世纪。

复杂系统,由无数个体组成,并“涌现”(emerge)出一个集体特性,这种集体特性不在个体中,也无法轻易地通过个体特性来预测。

生命,就是一个最典型的复杂系统,它由无数个细胞组成,我们即使对于每个细胞都很了解,却依然无法预测生物体的特性。

亚里士多德说,“整体大于局部之和”,就是这个意思。

本世纪所面临的重大挑战之一,就是寻找生命的复杂性如何诞生于根本的简单性这样的基本原则。这就是“复杂性科学”。

当下,科学家们正在探究,生命系统的一般性粗粒度行为(Generic coarse-grained behavior)或许遵从某种可量化的普遍法则,虽然不会多么准确,但是也为我们理解真实系统提供了一个出发点或基线(baseline)。

生物学几乎肯定会成为21世纪的主导学科,但前提是,必须接受物理学文化,即定量、分析、预测,从而整合出一个新的范式,一个基于数学的基本原理而构建的理论框架

本文观点主要来自于《规模》一书前4章,感兴趣的读者可以参阅。

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