刚体运动

这一讲，我们将比较详细地讨论图形的运动。我们之所以要比较详细地讨论，是因为我国目前基础教育阶段数学教育中对“图形运动”的有关内容重视不够，而这些恰恰是非常重要的教学内容。我想，在基础教育阶段学习几何的教育价值有两个：一个是演绎推理，一个是几何直观。而现实的情况是，几何直观的教育价值没有得到很好的落实。原因可能是多方面的，但从课程内容的安排思考，没有统筹地思考，恰当地引入图形运动和图形操作（包括几何作图）可能是很主要的原因。

首先应当清楚，运动是需要参照系的。虽然飞机的速度要比火车快得多，但是，在火车上看窗外景物飞驰，我们知道火车在运动；在飞机上放下隔光板，我们感觉不到飞机的运动。爱因斯坦相对论的核心就是构建合理的参照系，他在谈到他是如何发明广义相对论时有一段精彩的描述：

“一个无法令人满意的事情是，尽管惯性与能量关系在狭义相对论中得到解决，但是，惯性与重量（引力场内的能量）”之间的关系始终不清楚。这个难题的突破点突然在一天找到了，那天我突然闪现出一个想法：如果一个人正在自由下落，他绝不会感到他有重量。......我决定把相对论扩展到加速参照系中”

在欧几里得时代，人们还没有意识到建立参照系对于考察运动的重要性，因此在欧几里得的《原理》中没有提到图形的运动。但是，在《原理》的字里行间显示欧几里得已经感悟到了图形的运动，只是没有把“图形运动”这个概念抽象处理。《原理》的第四个公理认定：

彼此能重合的物体是全等的。

正如我们曾经谈到的那样，没有图形的运动就不可能有图形的重合。下面，我们尝试地站在欧几里得的立场，分析上述公理的含义。可以想象，在欧几里得时代人们头脑中所思考的运动一定是一种不改变物体形状的运动，比如，是“把一块石头移到另一个地方”这样的运动，而不是“把锅里的水倒到碗里”这样的运动。根据这个思路，我们把欧几里得的这个公理说得更明确一些：

一个物体经过不变形的运动与另一个物体重合，那么这两个物体全等。

如果是这样的话，我们就必须对“不变形的运动”给出一个明确的定义。很显然，这个定义只能从人们日常生活和生产实践的经验中抽象处出来，我们再回归欧几里得的思考，把一个固体的（比如木制的）三角形放到另一个三角形上，如果这两个三角形能够重合，则说这两个三角形全等。可以看到，这样的运动正是我们现代数学和物理学中经常所说的刚体运动。应当如何定义刚体运动呢？我们知道，一个刚体无论怎样移动，内部结构都不会发生变化，也就是说，点与点之间的距离是不会发生变化的。因此，一个直观的，原始的定义可以是这样的，在平面上，如果一个物体的运动满足下面条件：

运动后，物体上任意两点之间的距离不变。 （1）

则称这个运动为刚体运动。