定义

在一幅无向图 G=(V,E)G=(V,E) 中，(u,v)(u,v) 为连接顶点 uu 和顶点 vv 的边，w(u,v)w(u,v) 为边的权重，若存在边的子集 T⊆ET⊆E 且 (V,T)(V,T) 为树，使得

w(T)=∑(u,v)∈Tw(u,v)w(T)=∑(u,v)∈Tw(u,v)

最小，这称 TT 为图 GG 的最小生成树。

说的通俗点，最小生成树就是带权无向图中权值和最小的树。下图中黑色边所标识的就是一棵最小生成树（图片来自《算法第四版》），对于权值各不相同的连通图来说最小生成树只会有一棵：

带权图的实现

在 《如何在 Java 中实现无向图》 中我们使用邻接表数组实现了无向图，其中邻接表上的每个节点的数据域只是一个整数，代表着一个顶点。为了方便最小生成树的迭代，我们将数据域换成 Edge 实例。Edge 有三个成员：顶点 v、顶点 w 和权重 weight，为了比较每一条边的权重，需要实现 Comparable 接口。代码如下所示：

复制package com.zhiyiyo.graph;/** * 图中的边 */public class Edge implements Comparable<Edge> {    private final int v, w;    private final double weight;    public Edge(int v, int w, double weight) {        this.v = v;        this.w = w;        this.weight = weight;    }    /**     * 返回边中的一个顶点     */    int either() {        return v;    }    /**     * 返回边中的拎一个顶点     *     * @param v 顶点 v     * @return 另一个顶点     */    int another(int v) {        if (this.v == v) {            return w;        } else if (w == v) {            return this.v;        } else {            throw new RuntimeException("边中不存在该顶点");        }    }    public double getWeight() {        return weight;    }    @Override    public String toString() {        return String.format("Edge{%d-%d %f}", v, w, weight);    }    @Override    public int compareTo(Edge edge) {        return Double.compare(weight, edge.weight);    }}

之后只要照猫画虎，将 LinkGraph 的泛型从 Integer换成 Edge 就行了：

复制package com.zhiyiyo.graph;import com.zhiyiyo.collection.stack.LinkStack;import com.zhiyiyo.collection.stack.Stack;/** * 带权无向图 */public class WeightedGraph {    private final int V;    protected int E;    protected LinkStack<Edge>[] adj;    public WeightedGraph(int V) {        this.V = V;        adj = (LinkStack<Edge>[]) new LinkStack[V];        for (int i = 0; i < V; i++) {            adj[i] = new LinkStack<>();        }    }    public int V() {        return V;    }    public int E() {        return E;    }    public void addEdge(Edge edge) {        int v = edge.either();        int w = edge.another(v);        adj[v].push(edge);        adj[w].push(edge);        E++;    }    public Iterable<Edge> adj(int v) {        return adj[v];    }    /**     * 获取所有边     */    public Iterable<Edge> edges() {        Stack<Edge> edges = new LinkStack<>();        for (int v = 0; v < V; ++v) {            for (Edge edge : adj(v)) {                if (edge.another(v) > v) {                    edges.push(edge);                }            }        }        return edges;    }}

同时给出最小生成树的 API：

复制package com.zhiyiyo.graph;/** * 最小生成树 */public interface MST {    /**     * 获取最小生成树中的所有边     */    Iterable<Edge> edges();    /**     * 获取最小生成树的权重     */    double weight();}

假设 EE 是图 GG 中所有边的集合，TT 是最小生成树的边集合，kruskal 算法的思想是每次从 EE 中弹出权值最小的边 emem，如果 emem 不会和 TT 中的边构成环，就将其加入 TT 中，直到 |T|=|V|−1|T|=|V|−1 也就是 TT 中边的个数是图 GG 的顶点个数 -1 时，就得到了最小生成树。

对于上一幅图，使用 kruskal 算法得到最小生成树的过程如下图所示：

首先将 EE 中最小的边 0-7 弹出并加到 TT 中，此时的 EE 中最小边为 2-3，虽然 2-3 和 0-7 无法构成连通图，但是没关系，只要贪心地将其加入 TT 中即可，因为后续其他边的添加总会将二者连通起来。接着按照权值的升序依次把边 1-7、0-2、5-7 加到 TT 中，直到碰到边 1-3，如果把 1-3 加入 TT 中，就会出现环 1-3-2-0-7-1，所以直接将 1-3 舍弃，1-5、2-7 也同理被丢弃掉。由于边 4-5 不会在 TT 中构成环，所以将其加入 TT。重复上述步骤，直到 |T|=|V|−1|T|=|V|−1。

上述过程中有两个影响性能的地方，一个是找出 EE 中权值最小的边 emem，一个是判断将 emem 加到 TT 中是否会出现环。

二叉堆

二叉堆是一棵完全二叉树，且每个父节点总是大于等于（最大堆）或者小于等于（最小堆）他的子节点。《算法第四版》中给出了使用数组存储的最大堆的结构，其中数组下标为 0 的地方不存储元素，假设下标为 ii 出存放的是父节点，那么 2i2i 和 2i+12i+1 处就是子节点：

由于最小堆的堆顶节点总是最小的，所以只需将 EE 变为一个最小堆，每次取出堆顶的元素即可，时间复杂度为 O(logN)O(log⁡N)。下面来看下如何实现最小堆。

API

对于一个二叉堆，我们关心以下操作：

复制package com.zhiyiyo.collection.queue;public interface PriorQueue<T extends Comparable<T>> {    /**     * 向堆中插入一个元素     * @param item 插入的元素     */    void insert(T item);    /**     * 弹出堆顶的元素     * @return 堆顶元素     */    T pop();    /**     * 获取堆中的元素个数     */    int size();    /**     * 堆是否为空     */    boolean isEmpty();}

为了保证二叉堆是一棵完全二叉树，每次都将新节点插到数组的末尾，也就是二叉树的最后一个节点。如下图所示，假设插入的节点为 A，它的父节点为 P，兄弟节点为 S，由于 P > A，这就打破了二叉堆的有序性，所以需要对堆进行调整。具体流程就是将兄弟节点中的较小者（A）选为父节点，而先前的父节点 P 则退位变为子节点。如果此时 A 的父节点小于 A，则无需继续调整。但是下图中只交换了 A、P 之后还是没将二叉树调整为堆有序状态，因为父节点 D > A，接着将兄弟节点中较小的 A 变为父节点，而 D 则变成 A 的子节点，至此完成最小堆的调整。

上述过程的代码如下所示，为了保证后续插入操作，每当数组满员时就对其进行扩容操作：

复制package com.zhiyiyo.collection.queue;import java.util.Arrays;public class MinPriorQueue<T extends Comparable<T>> implements PriorQueue<T>{    private T[] array;    private int N;    public MinPriorQueue() {        this(3);    }    public MinPriorQueue(int maxSize) {        array = (T[]) new Comparable[maxSize + 1];    }    @Override    public boolean isEmpty() {        return N == 0;    }    @Override    public int size() {        return N;    }    @Override    public void insert(T item) {        array[++N] = item;        swim(N);        if (N == array.length - 1) resize(1 + 2 * N);    }    /**     * 元素上浮     *     * @param k 元素的索引     */    private void swim(int k) {        while (k > 1 && less(k, k / 2)) {            swap(k, k / 2);            k /= 2;        }    }    private void swap(int a, int b) {        T tmp = array[a];        array[a] = array[b];        array[b] = tmp;    }    private boolean less(int a, int b) {        return array[a].compareTo(array[b]) < 0;    }    private void resize(int size) {        array = Arrays.copyOf(array, size);    }}

假设我们需要删除下图中的 A 元素，这时候就需要将 A 和最小堆的最后一个元素 P 交换位置，并将数组的最后一个元素置为 null，使得 A 的引用次数变为 0，能被垃圾回收机制自动回收掉。交换之后最小堆的有序性被破坏了，因为父节点 P > 子节点 D，这时候和插入元素的操作一样，将较小的子节点和父节点交换位置，使得较大的父节点能够下沉，而较小的子节点上位，这个过程持续到没有子节点被 P 更小为止。

实现代码如下：

复制@Overridepublic T pop() {    T item = array[1];    swap(1, N);    array[N--] = null;    sink(1);    if (N < (array.length - 1) / 4) resize((array.length - 1) / 2);    return item;}/** * 元素下沉 * * @param k 元素的索引 */private void sink(int k) {    while (2 * k <= N) {        int j = 2 * k;        // 检查是否有两个子节点        if (j < N && less(j + 1, j)) j++;        if (less(k, j)) break;        swap(k, j);        k = j;    }}

假设 TT 中的顶点的集合为 V′V′，则有图 G′=(V′,T)G′=(V′,T)。我们可以将 G′G′ 划分为 nn 个连通分量，每个连通分量有一个标识 id∈[0,n−1]id∈[0,n−1]。要想判断将边 emem 加入 TT 后是否会构成环，只需判断 emem 的两个顶点是都属于同一个连通分量即可。

判断是否连通

由于每个连通分量都不存在环，可以看作一棵小树，所以可以用一个数组 int[] ids 的索引表示树中的节点（图中的顶点），而索引处的元素值为父节点的索引值，数组中 ids[i] == i 的位置就是每棵树的根节点，i 就是这个连通分量的标识。而我们想要知道两个节点之间是否连通，只需判断他们所属的树的根节点是否相同即可。

假设从树底的叶节点 6 出发，一路向上直到树顶 1，中间需要经过 5 和 0 两个节点，如果节点 6 的根节点查询得比较频繁，那么这种查找效率是比较低的。由于我们只需知道根节点是谁即可，树的结构无关紧要，那么为何不想个办法把节点 5、6 直接挂到根节点 1，这样只要一步就能知道根节点。实现这种想法的的方式就是路径压缩：当从节点 6 走到父节点 5 时，就将节点 6 挂到节点 5 的父节点 0 上；而从节点 0 走到根节点 1 时，就将子节点 6 和 5 挂到根节点 1 下，树高被压缩为 1。

实现上述过程的代码如下所示：

复制package com.zhiyiyo.collection.tree;public class UnionFind {    private int[] ids;    private int[] ranks;	// 每棵树的高度    private int N;			// 树的数量    public UnionFind(int N) {        this.N = N;        ids = new int[N];        ranks = new int[N];        for (int i = 0; i < N; i++) {            ids[i] = i;            ranks[i] = 1;        }    }    /**     * 获取连通分量个数     *     * @return 连通分量个数     */    public int count() {        return N;    }    /**     * 获得连通分量的 id     *     * @param p 触点 id     * @return 连通分量 id     */    public int find(int p) {        while (p != ids[p]) {            ids[p] = ids[ids[p]];   // 路径压缩            p = ids[p];        }        return p;    }    /**     * 判断两个触点是否连通     *     * @param p 触点 p 的 id     * @param q 触点 q 的 id     * @return 是否连通     */    public boolean isConnected(int p, int q) {        return find(p) == find(q);    }}

我们将 EE 中的 emem 添加到 TT 中时，emem 的两个节点肯定分属于两个连通分量，加入 TT 之后就需要将这两个分量合并，也就是将两棵小树合并为一颗大树。假设两棵树的高度分别为 h1h1 和 h2h2，如果直接将一颗树的根节点接到另一棵树的叶节点上，会导致新树高度为 h1+h2h1+h2，降低寻找根节点的效率。解决方式是按秩归并，将矮树的根节点接到高树的根节点上，会出现两种情况：

如果 h1≠h2h1≠h2，新树高度会是 max{h1,h2}max{h1,h2}如果 h1=h2=ch1=h2=c，新树高度会是 c+1c+1

上述过程的代码如下所示：

复制/** * 如果两个触点不处于同一个连通分量中，则连接两个触点 * * @param p 触点 p 的 id * @param q 触点 q 的 id */public void union(int p, int q) {    int pId = find(p);    int qId = find(q);    if (qId == pId) return;    // 将小树并到大树    if (ranks[qId] > ranks[pId]) {        ids[pId] = qId;    } else if (ranks[qId] < ranks[pId]) {        ids[qId] = pId;    } else {        ids[qId] = pId;        ranks[pId]++;    }    N--;}

实现 kruskal 算法时，先将所有边加入最小堆中，每次取出堆顶的元素 emem，然后使用并查集判断边的两个顶点是否连通，如果不连通就将 emem 加入 TT，重复这个过程直至 |T|=|V|−1|T|=|V|−1，时间复杂度为 O(|E|log|E|)O(|E|log⁡|E|)。

复制package com.zhiyiyo.graph;import com.zhiyiyo.collection.queue.LinkQueue;import com.zhiyiyo.collection.queue.MinPriorQueue;import com.zhiyiyo.collection.queue.Queue;import com.zhiyiyo.collection.tree.UnionFind;import java.util.stream.Stream;import java.util.stream.StreamSupport;public class KruskalMST implements MST {    private Queue<Edge> mst;    public KruskalMST(WeightedGraph graph) {        mst = new LinkQueue<>();        UnionFind uf = new UnionFind(graph.V());        MinPriorQueue<Edge> pq = new MinPriorQueue<>();        for (Edge e : graph.edges()) {            pq.insert(e);        }        while (mst.size() < graph.V() - 1 && !pq.isEmpty()) {            Edge edge = pq.pop();            int v = edge.either();            int w = edge.another(v);            if (!uf.isConnected(v, w)) {                mst.enqueue(edge);                uf.union(v, w);            }        }    }    @Override    public Iterable<Edge> edges() {        return mst;    }    @Override    public double weight() {        Stream<Edge> stream = StreamSupport.stream(mst.spliterator(), false);        return stream.map(Edge::getWeight).reduce(0d, Double::sum);    }}

Prim 算法的思想是初始化最小生成树为一个根节点 0，然后将根节点的所有邻边加入最小堆中，从最小堆中弹出最小的边 emem，如果 emem 不会使得树中出现环，将将其并入树中。每当有新的节点 vv 被并入树中时，就得将 vv 的所有邻边加入最小堆中。重复上述过程直到 |T|=|V|−1|T|=|V|−1，时间复杂度为 O(|E|log|E|)O(|E|log⁡|E|)。代码如下所示：

复制package com.zhiyiyo.graph;import com.zhiyiyo.collection.queue.LinkQueue;import com.zhiyiyo.collection.queue.MinPriorQueue;import com.zhiyiyo.collection.queue.Queue;import java.util.stream.Stream;import java.util.stream.StreamSupport;/** * 延时版本 Prim 算法 */public class PrimMST implements MST {    private boolean[] marked;    private MinPriorQueue<Edge> pq;    private Queue<Edge> mst;    public LazyPrimMST(WeightedGraph graph) {        marked = new boolean[graph.V()];        pq = new MinPriorQueue<>();        mst = new LinkQueue<>();        mark(graph, 0);        while (mst.size() < graph.V() - 1 && !pq.isEmpty()) {            Edge edge = pq.pop();            int v = edge.either();            int w = edge.another(v);            // 构成环则舍弃            if (marked[v] && marked[w]) continue;            mst.enqueue(edge);            if (!marked[v]) mark(graph, v);            else if (!marked[w]) mark(graph, w);        }    }    private void mark(WeightedGraph graph, int v) {        marked[v] = true;        for (Edge edge : graph.adj(v)) {            if (!marked[edge.another(v)]) {                pq.insert(edge);            }        }    }    @Override    public Iterable<Edge> edges() {        return mst;    }    @Override    public double weight() {        Stream<Edge> stream = StreamSupport.stream(mst.spliterator(), false);        return stream.map(Edge::getWeight).reduce(0d, Double::sum);    }}

由于每次都是把新节点的所有邻边都加到了最小堆中，会引入许多无用的边，所以《算法第四版》中给出了使用索引优先队列实现的即时版 Prim 算法，时间复杂度能达到 O(|E|log|V|)O(|E|log⁡|V|)，但是这里写不下了，大家可以自行查阅，以上~~

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