听到“公式”这个词，大家会想到什么？

是学生时代烦人的试题，还是一串不明所以的字符？

公式到底厉害在哪里？

它们的精妙之处，在于简洁的外观和深奥的内涵。爱因斯坦方程就是一个典型的例子，这个公式主导着宇宙万物，短短一行字符就囊括了黑洞、引力波乃至整个宇宙中的各种现象。公式就像一个负责讲述古老传说的氏族，向我们传述无数丰富的信息。

假设某天晚上你坐在一家咖啡店里，身边有个人试图向你搭讪。你本以为他只会扯几句无聊的闲话，没想到他却在餐巾上唰唰唰地写了几行公式，写完后对你说：

“现在，你知道宇宙的样子了吧？”

这句出人意料的话，会不会引起你的好奇心呢？虽然不知道这种搭讪技巧是否实用，但在我个人看来，能唰唰唰地写出公式并就其侃侃而谈，就已经很帅气了。

有时，公式所讲述的真相甚至会超出提出者的设想，成为真正的预言。举例来说，爱因斯坦提出的公式里就有一个当时还寓意不明的宇宙学常数。而现在我们知道，这个常数代表着占据宇宙能量密度约68%的暗能量。

本文选自《统治宇宙的24个公式》，较原文有删节修改。已获得出版社授权刊发。

《统治宇宙的24个公式》，［日］高水裕一 著，青年天文教师连线 田田 吴斌 译，江苏凤凰科学技术出版社2024年5月版。

整个宇宙在遥远的未来会达到的最终状态

熵增原理dS≥0是物理学中能表示“时间单向流动”的公式。

如果用一个词来概括，这个公式可以被简称为熵增原理。S表示的是熵，而至于熵到底是什么，恐怕我需要用一整本书来进行说明，因此在这里我就不过多介绍了。

这个公式属于物理学中的热力学领域，而该领域主要研究与热相关的现象。比如球体在滚动时，严格来讲会与地面发生摩擦，因而一定的能量会以热的形式释放出来。同样，弹簧在弹动时也会伴随着少量的放热。

换言之，目前为止力学里涉及的所有现象，在现实生活中其实都伴随着热现象的发生，而力学研究的只不过是理想状态下的情况。所以说，热力学几乎与我们身边所有的现象都有关联，是一个范围极广的领域。

18世纪时，蒸汽火车和蒸汽船等工业应用让热力学研究有了用武之地，而这门学科也随着工业革命的进行逐渐发展起来。

接下来我来简单介绍一下热力学领域的重要定律。热力学第一定律与能量守恒有关，热力学第二定律就是熵增原理，而热力学第三定律则与绝对零度有关。虽然这些定律乍看之下都非常简单，但是当我们深挖其背后的含义时，就会发现它们其实比其他领域的定律都要深奥——这也正是热力学这个领域的特征。

《信条》（2020）剧照。

在大学里初次接触热力学知识的时候，很多学生都会感到无聊，因为这个领域里的每一条结论都像是在对理所当然的事实进行琐碎冗长的说明。我也是在做了教师以后，为给学生讲课重温热力学的知识，才终于体会到其深邃的真谛。所谓学习，大概就是需要像多次阅读一部小说那样，反复地咀嚼知识吧。

热力学的主要目标之一，就是要弄清楚什么是“热”。虽说直接给出答案会让我有种负罪感，但这里我还是要告诉大家，热的本质就是原子和分子等微观粒子的运动，而这种运动叫作热运动。

随着热力学的发展，人们的关注点逐渐由宏观物体转向了微观粒子的运动。在研究微观粒子的运动时，我们需要用到统计力学的知识。不过这门学科似乎不太受学生们喜爱，我常在课上听学生抱怨说“完全搞不懂在算什么”。其实，统计力学就像一座桥梁，连接着我们的日常生活和基本粒子的微观世界。统计力学和我接下来要提到的高斯分布也有着密切联系。

让我们说回热力学第二定律，它描述的是熵这个量会随着时间的流逝逐渐增加。这条定律极其重要，甚至可以说是自然界的一条基本原理。热咖啡会变凉、牛奶倒入咖啡后会扩散、洒到地上的咖啡不会回到杯子里……这些现象的共通之处就在于不可逆性。

这个公式描述的事实已经远远超出了热力学范围——它是一个可以回答“时间为什么不可逆”这个问题的公式。“时间一定会向着未来前进，而不会回到过去”这句话虽然听起来理所应当，但能解释其背后原因的公式却不多。无论是我们的日常生活，还是整个宇宙，时间都是一种不可逆的存在。因此可以说，这个简单的公式包含了宇宙的真谛。

所谓的“麦克斯韦妖”就是假想中一只能让时间倒流的妖精。关于它的故事我在后面还会提到，现在先暂且放一放。总之，所有的现象都会遵循熵增原理一直发展下去，最终达到dS=0，也就是熵值最大的状态。换句话说，这就是整个宇宙在遥远的未来会达到的最终状态。然而这到底是一种什么样的状态，我们目前还并不知晓。

“覆水能收”吗？发现“倒流的时间”

一个孤立系统中的熵越来越少，就意味着这个孤立系统里的时间在逆向流动。电影《信条》就十分直观地展现了一个时间倒流的世界，我觉得很有意思，大家有机会一定要去看一看。

当然，也有一些不那么科幻的事情。在量子力学的世界里，时不时地会出现一些运动轨迹反常的基本粒子。虽然目前我们对这些现象的研究还不太成熟，但实现时间旅行的方法很可能就在量子力学里。能带给我们一个不可思议的梦，这大概就是这个公式最大的魅力吧！

《信条》（2020）剧照。

现在，让我们来聊聊熵的发展史。

首先，在有关热机的研究中，一个名叫卡诺的法国物理学家提出了一个重要概念——卡诺循环。即便是今天，我在课上讲解熵的概念时，依然会提到卡诺循环。因为这个过程能让我们推导出一个不断积累的物理量，也就是所谓的熵。在对卡诺循环进行分析以后，我们会发现永动机是不存在的，而这就是熵增原理的原型。令人惋惜的是，卡诺在36岁时就因为霍乱与世长辞了。

卡诺去世以后，一个名叫克劳修斯的德国学者决定继续对卡诺循环进行研究。在1865年的一篇论文中，他首次使用字母S表示熵并将其量化。

熵（entropy）这个说法来源于希腊语中的“转化”（τροπή）一词。在热力学研究中，由于功和热之间的转化是不完全的，所以人们才给它起了这个名字。虽然用字母S的真实意图只有克劳修斯本人才知道，但克劳修斯的确是凭着对先驱者的敬意，从卡诺手中接过了接力棒，将这场接力赛继续跑了下去。这段历史堪称一则佳话。

克劳修斯想要描述的是一种前所未有的物理量，因此他一定是经过了无数次的试错才得出了最后的结论。天才们就是这样，用公式把其他人看不到的东西展现出来。他们像是顶级的设计师，从事着无比浪漫的工作。这场接力赛还在继续。

接下来玻尔兹曼推导出熵与系统状态数a之间的关系式。这条令他着迷的公式最后被刻在了他的墓碑上，成为他的墓志铭。玻尔兹曼在热力学领域进行了广泛而深入的研究，并取得了许多重要的成果。紧接着，他将关注点从宏观世界转向了微观世界，并在统计力学方面做出了十分重要的贡献。

最后就是我们熟悉的那个留着大胡子的“咖啡店店长”——麦克斯韦。虽说这位“大明星”的出场费一定很高昂，但有他参与的话，接力赛的节目效果一定很好。跑着跑着，麦克斯韦抛出了一个难题——“麦克斯韦妖”。

“话说，搞一场这么漫长的接力赛，到底有没有意义啊……”这句抱怨让身为“赞助商”的热力学先生吓出了一身冷汗。正在热力学先生不知所措的时候，接力赛突然从名叫热力学的跑道转移到了名叫统计力学的跑道上！没过多久，费米和普朗克就进入了赛道。最后，就连天才爱因斯坦也加入了这场接力。观众们一定会想问：“爱因斯坦先生，除了抢答类节目，你到底还参加了多少节目啊？”这场接力赛的最终目标，逐渐和第二章中的量子力学产生了联系。

《信条》（2020）剧照。

“麦克斯韦妖”指的是一只能够破坏熵增原理的妖精，它的存在会让先前的理论成为悖论。为了解决这个问题，物理学家与那只假想中的妖精苦战了许多年，但直到20世纪结束也没有彻底将其降伏。

目前，有关时间倒流的研究还在进行中。这项研究关系到量子计算机的发展，以及对量子力学中时间的本质的研究。“麦克斯韦妖”至今还隐藏在熵增原理的深处。

原文作者/［日］高水裕一

摘编/何也

编辑/张进

导语校对/刘军