魔方——这么多，那么少！

数学英才 03-30 4456

前言：

此刻各位老铁们对“c语言魔方”大体比较讲究，各位老铁们都需要剖析一些“c语言魔方”的相关知识。那么小编同时在网上网罗了一些关于“c语言魔方””的相关知识，希望看官们能喜欢，同学们一起来了解一下吧！

作者 | 刘洋洲
来源 | 转自知乎专栏《万物皆数也》，“数学英才”获授权转载，在此感谢！

儿童节刚刚过去，本期文章我们谈谈童年回（噩）忆（梦）中的魔方。

也许这是一个略显愚蠢的问题：为什么一个完好的魔方总是可以恢复原样？这其实是一个既简单又深刻的问题。

答：魔方的每个状态都是由初始状态通过一系列有限的操作所得到的，这些操作包括（顺时针旋转上层四分之一周）、（顺时针旋转前层四分之一周）、（顺时针旋转右层四分之一周）……那我们只需要“原路返回”，不就可以回到起点了吗？

U|F|RD|B|L

例如我们对魔方进行操作：，那么我们只需要再进行如下操作即可：

其中表示的反向操作，即「逆时针」旋转前层四分之一周，其余符号同理。不过按照魔方术语，往往用其小写字母表示，即。

在群论中，称为的「逆」，因为他们的复合的结果是「单位元」，即魔方会回到初始状况：

群的复合运算满足「结合律」，容易给出上面等式成立的证明：

一个代数系统如果满足三条性质，则称为群：

存在单位元；存在逆元；满足结合律。

可见魔方确实是一个实实在在的「有限群（Finite group）」！

为什么说它有限呢？因为它是「置换群（Permutation group）」的「子群（Subgroup）」，置换群是有限群，而它的子群是由其元素的子集构成的更小的群，所以其子群也一定是有限群。

所谓置换群，用魔方来讲就是：魔方的所有状态构成一个有限集合。状态与状态之间的转移，就是群的元素。一个的魔方有6个面，每个面又分为9个小的块面，于是一共有54个小的块面。这些小的块面的颜色共同构成魔方的当前状态，如果这54个块面可以随意互换位置，那么构成的群我们记为。然而魔方由于其特殊的内部构造，使得这种随意性是不可能发生的，真实的情况则是的一个子群，我们称为「魔方群（Rubik' Cube group）」。

这个群的实际状态数已被数学家给出，它是一个巨大的数字：

大约是现在地球人口数目的平方。

有限，但太巨大了。所以回答是否存在魔方还原策略还远远不够，我们更关心的是，能否快速还原魔方？或者我们更进一步：还原一个魔方至多需要几步？

答：20步！

这个结果被称之为上帝之数。与平面图的四色定理（给不含有飞地的地图着色，使得邻国颜色不同，只需要四种颜色就够了）的证明类似，同样是通过计算机暴力证明。

这么多，那么少！

这意味着什么呢？说明魔方的各个状态高度关联，所有的状态统统被压缩在直径为20的高维球体内。

示意图

通常购买魔方都会附有说明书，上面介绍的是还原魔方的公式。在套用这些公式时，我们似乎并不需要关注每个面块的状态，往往“糊里糊涂”地还原了魔方，知其然不知其所以然。而且还原的步数往往超过20步，这意味着这些公式有些“绕远路”。

我们如何理解魔方的还原公式呢？

我们可以将魔方群以图论的方式表示：每个状态记为一个节点，如果存在一个变换，可以从此状态得到彼状态，那么这两个节点必有一条边相连接，于是我们得到一个关于魔方状态的网络。在这个网络中，寻找最优路线对于新手而言是不切实际的，而还原公式帮助我们进入特定的轨道中，这个轨道就像是时钟表盘，而轨道上各个状态正如表盘上的刻度，而魔方的初始状态就是这个表盘上的12点，只要我们按照顺（逆）时针走，就一定会经过我们的目标。

示意图：红点为魔方初始状态

魔方群中这种类似于表盘结构的子群，我们称之为「循环群（Cyclic group）」，并且是有限循环群。

而魔方还原公式本身的结构也非常耐人寻味，例如

在群论中我们称之为的「共轭（Conjugate）」。在还原魔方的时候，我们往往会遇到这样的窘境：我们想让和交换，然而两者直接交换会影响到，然而我们并不想让发生改变……这个时候我们就利用和去消弭掉所带来的影响。与共轭的原理类似，我们还会用到「交换子（Commutator）」，形如。前文我们在定义群的时候，只提及了结合律而没有提及交换律，这是因为有大量的群是非交换的，例如矩阵群。交换群是没有所谓交换子的，这是因为

在某种意义上，交换子群（由交换子生成的群）提供了群的可交换程度。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。

关于魔方的具体内容请读者参考《Group Theory via Rubik's Cube》（链接：）。另外提供一个在线魔方的程序（链接：），非常精美有趣。

R语言程序

下面是我写的2阶魔方的平面展开图，给定操作自动演算出结果。

代码说明：

这里我没有遵守通常的记号习惯。

代码中两个变换的乘法表示先执行再执行，这虽然与映射复合的乘法规则相反，但是符合我们从左往右的阅读习惯。

最后一行代码表示对二阶魔方做变换，利用这个代码，可以验证上面的公式。

倒数第三行（括号不算）的代码，我为了做演示视频，有意设置了延迟效果。如果网友想要快速得到结果，可以删掉这行代码。

####2阶魔方
#矩阵中心对称
o <- function(A)
{
 t = A[1,1]
 A[1,1] = A[2,2]
 A[2,2] = t
 t = A[1,2]
 A[1,2] = A[2,1]
 A[2,1] = t
 A
}
#矩阵元素逆时针旋转
r <- function(A)
{
 t = A[1,1]
 A[1,1] = A[1,2]
 A[1,2] = A[2,2]
 A[2,2] = A[2,1]
 A[2,1] = t
 A
}
#矩阵元素顺时针旋转
v <- function(A)
{
 t = A[1,1]
 A[1,1] = A[2,1]
 A[2,1] = A[2,2]
 A[2,2] = A[1,2]
 A[1,2] = t
 A
}
#魔方的六个面
A = matrix(rep(1,4),2)
B = matrix(rep(2,4),2)
C = matrix(rep(3,4),2)
a = matrix(rep(4,4),2)
b = matrix(rep(5,4),2)
c = matrix(rep(6,4),2)
#A为俯视图，B为正视图，C为右侧视图，X=A,B,C;结果为矩阵形式，方便绘图。
Xup <- function(A,a,B,b,C,c)
{
 Aup = matrix(rep(0,48),6)
 Aup[3:4,5:6] = A
 Aup[3:4,1:2] = a
 Aup[1:2,5:6] = B
 Aup[5:6,5:6] = b
 Aup[3:4,3:4] = C
 Aup[3:4,7:8] = c
 Aup
}
cube = list(A,a,B,b,C,c)
cube[[7]] = Xup(A,a,B,b,C,c)
#B朝上的十字架展开图（A --> B），输入输出皆为列表 
ABup <- function(Aup) 
{
 Bup = list()
 Bup[[1]] = Aup[[1]]
 Bup[[2]] = o(Aup[[2]])
 Bup[[3]] = Aup[[3]]
 Bup[[4]] = o(Aup[[4]])
 Bup[[5]] = v(Aup[[5]])
 Bup[[6]] = r(Aup[[6]])
 Bup[[7]] = Xup(Bup[[3]],Bup[[4]],Bup[[2]],
 Bup[[1]],Bup[[5]],Bup[[6]])
 Bup
}
#（B --> A）
BAup <- function(Bup) 
{
 Aup = list()
 Aup[[1]] = Bup[[1]]
 Aup[[2]] = o(Bup[[2]])
 Aup[[3]] = Bup[[3]]
 Aup[[4]] = o(Bup[[4]])
 Aup[[5]] = r(Bup[[5]])
 Aup[[6]] = v(Bup[[6]])
 Aup[[7]] = Xup(Aup[[1]],Aup[[2]],Aup[[3]],
 Aup[[4]],Aup[[5]],Aup[[6]])
 Aup
}
#C朝上的十字架展开图（A --> C）
ACup <- function(Aup) 
{
 Cup = list()
 Cup[[1]] = Aup[[1]]
 Cup[[2]] = Aup[[2]]
 Cup[[3]] = r(Aup[[3]])
 Cup[[4]] = v(Aup[[4]])
 Cup[[5]] = Aup[[5]]
 Cup[[6]] = Aup[[6]]
 Cup[[7]] = Xup(Cup[[5]],Cup[[6]],Cup[[3]],
 Cup[[4]],Cup[[2]],Cup[[1]])
 Cup
}
#（C --> A）
CAup <- function(Cup) 
{
 Aup = list()
 Aup[[1]] = Cup[[1]]
 Aup[[2]] = Cup[[2]]
 Aup[[3]] = v(Cup[[3]])
 Aup[[4]] = r(Cup[[4]])
 Aup[[5]] = Cup[[5]]
 Aup[[6]] = Cup[[6]]
 Aup[[7]] = Xup(Aup[[1]],Aup[[2]],Aup[[3]],
 Aup[[4]],Aup[[5]],Aup[[6]])
 Aup
}
#画出魔方展开图
color = c("white","red","orange","yellow","green","blue","purple")
par(mai=rep(0,4),oma=rep(0,4))
plot(0,0, type = "n", xlim = c(0,7), ylim = c(0,9))
draw <- function(Cube) #输入矩阵
{
for(i in 1:6)for(j in 1:8)points(i, j, pch = 15, cex = 4, col = color[Cube[i,j]+1])
}
draw(Xup(A,a,B,b,C,c)) #魔方初始状态
##三大变换
#对A（红色面）逆时针旋转90度；此时List应该是A面为俯视面的形式
U <- function(List)
{
 unfold = Xup(List[[1]],List[[2]],List[[3]],
 List[[4]],List[[5]],List[[6]])
 A = matrix(rep(0,48),6)
for(i in 2:5)for(j in 4:7) A[9-j,2+i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导
 unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]
 A = unfold[3:4,5:6]
 a = unfold[3:4,1:2]
 B = unfold[1:2,5:6]
 b = unfold[5:6,5:6]
 C = unfold[3:4,3:4]
 c = unfold[3:4,7:8]
 List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)
 List 
}
#U的逆变换，此时List应该是A面为俯视面的形式
V <- function(List)
{
 unfold = Xup(List[[1]],List[[2]],List[[3]],
 List[[4]],List[[5]],List[[6]])
 A = matrix(rep(0,48),6)
for(i in 2:5)for(j in 4:7) A[j-2,9-i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导
 unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]
 A = unfold[3:4,5:6]
 a = unfold[3:4,1:2]
 B = unfold[1:2,5:6]
 b = unfold[5:6,5:6]
 C = unfold[3:4,3:4]
 c = unfold[3:4,7:8]
 List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)
 List 
}
#对B（橙色面）逆时针旋转90度；此时List应该是B面为俯视面的形式
F <- function(List)
{
 unfold = Xup(List[[3]],List[[4]],List[[2]],
 List[[1]],List[[5]],List[[6]])
 A = matrix(rep(0,48),6)
for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[9-j,2+i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导
 unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]
 B = unfold[3:4,5:6]
 b = unfold[3:4,1:2]
 a = unfold[1:2,5:6]
 A = unfold[5:6,5:6]
 C = unfold[3:4,3:4]
 c = unfold[3:4,7:8]
 List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)
 List 
}
#F的逆变换,此时List应该是B面为俯视面的形式
E <- function(List)
{
 unfold = Xup(List[[3]],List[[4]],List[[2]],
 List[[1]],List[[5]],List[[6]])
 A = matrix(rep(0,48),6)
for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[j-2,9-i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导
 unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]
 B = unfold[3:4,5:6]
 b = unfold[3:4,1:2]
 a = unfold[1:2,5:6]
 A = unfold[5:6,5:6]
 C = unfold[3:4,3:4]
 c = unfold[3:4,7:8]
 List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)
 List 
}
#对C（黄色面）逆时针旋转90度;此时List应该是C面为俯视面的形式
R <- function(List)
{
 unfold = Xup(List[[5]],List[[6]],List[[3]],
 List[[4]],List[[2]],List[[1]])
 A = matrix(rep(0,48),6)
for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[9-j,2+i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导
 unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]
 C = unfold[3:4,5:6]
 c = unfold[3:4,1:2]
 B = unfold[1:2,5:6]
 b = unfold[5:6,5:6]
 A = unfold[3:4,7:8]
 a = unfold[3:4,3:4]
 List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)
 List 
}
#R的逆变换,此时List应该是C面为俯视面的形式
K <- function(List)
{
 unfold = Xup(List[[5]],List[[6]],List[[3]],
 List[[4]],List[[2]],List[[1]])
 A = matrix(rep(0,48),6)
for(i in 2:5)for(j in 4:7)A[j-2,9-i] = unfold[i,j] #坐标旋转由复数推导
 unfold[2:5,4:7] = A[2:5,4:7]
 C = unfold[3:4,5:6]
 c = unfold[3:4,1:2]
 B = unfold[1:2,5:6]
 b = unfold[5:6,5:6]
 a = unfold[3:4,3:4]
 A = unfold[3:4,7:8]
 List = list(A,a,B,b,C,c,unfold)
 List 
}
#魔方的变换
Transform <- function(Cha) #输入由U/V/F/E/R/K构成的字符串
{
 Cha = unlist(strsplit(Cha,split="")) #将字符串的字母逐个拆开
for(i in Cha)
 {
if(i=="U"){cube = U(cube)}
if(i=="V"){cube = V(cube)}
if(i=="F"){cube = F(ABup(cube)); cube = BAup(cube)}
if(i=="E"){cube = E(ABup(cube)); cube = BAup(cube)}
if(i=="R"){cube = R(ACup(cube)); cube = CAup(cube)}
if(i=="K"){cube = K(ACup(cube)); cube = CAup(cube)}
 draw(cube[[7]])
 Sys.sleep(0.2)
 }
 cube[[7]]
}
Transform(rep("RVE",30))