带电粒子在圆形的有界匀强磁场中的运动，与其说是物理问题，不如说是画画题，本质就是“磁场圆”与“轨迹圆”的相交相切问题。

一：“动态圆”方法

1.放缩圆

2.旋转圆

3.平移圆

4.放缩等腰四边形

二：“圆形磁场”结论

1.轨迹圆和磁场圆的连心线垂直平分两圆的公共弦，偏向角等于圆心角，等于弦切角的2倍。

φ=α=2θ

2.径向射入，径向射出

径向射入，速度越大（小），速度偏转角越小(大)，时间越短(长).

r=mv/qB，tan(α/2)=R/r=qBR/mv，

t=αm/qB

速度越大，轨迹圆半径越大，弦切角越小，时间越小。

3.非径向射入，速度与磁场圆半径夹角相等，速度与公共弦夹角相等。

几何关系：

4.环状磁场

如图，圆形空心部分没有磁场，环形部分磁感应强度为B，若是A点有无数正电荷沿着各个方向射出，试求：

①若是想要将所有的粒子都束缚在磁场内部，粒子的速度大小应该满足什么条件？

粒子全都束缚在磁场内部，只需要满足最容易射出的粒子不射出磁场即可，A为粒子轨迹上的一个点，这时即需要我们寻找最短的弦，也就是AC，此时需要满足2r≤AC＝R₂-R₁，此时可以保证，所有的粒子都不会射出磁场。

②若是想要将所有的粒子都冲出磁场，粒子的速度大小应该满足什么条件？

粒子全部冲出磁场，只需要满足最难射出磁场的粒子也射出磁场，A为粒子轨迹上的一点，最难射出的位置即为最长的弦，也就是AD，此时需要满足2r≥AD＝R₂＋R₁，此时可以保证，所有的粒子都会射出磁场。

5.磁聚焦和磁发散

当轨迹圆半径等于磁场圆（或“叶形”磁场）的半径时，粒子可呈现聚焦、发散、可逆的特点。

R=r，“叶形”面积：

6.轨迹圆的最大弦长是磁场圆的直径

轨迹圆的弧长越长、圆心角越大、时间越长、偏角越大，当轨迹圆的弦等于磁场圆的直径时，弧长、圆心角、时间、偏角均取最大；反之，轨迹圆一定，此时，所求的有界圆形磁场最小。

三：重要辅助线

1.双心连线对半分

2.四点连线等腰四边形

四：弦长法求时间

sin(θ/2)=AB/2r

t=θm/qB，

r一定，弦长越大，时间越长。

例题：在圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场从磁场边缘A点沿半径方向射入一束速率不同的质子，对这些质子在磁场中的运动情况的分析中，正确的是（）

A.运动时间越长的在磁场中通过的距离越长

B.运动时间越短的，其速率越大

C.磁场中偏转角越小的，运动时间越短

D.所有质子在磁场中的运动时间都相等

例题：圆心为O、半径为r的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L的O′处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m的电子以速率v从左侧沿OO′方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P点，如图所示，

求O′P的长度和电子通过磁场所用的时间。

例题：半径为r的圆形空间内，存在着垂直于纸面向里的匀强磁场，一个带电粒子（不计重力）从A点以速度v₀垂直磁场方向射入磁场中，并从B点射出.∠AOB＝120°，如图所示，

则该带电粒子在磁场中运动的时间为（）

例题：如图所示，

在真空中半径r＝3.0×10⁻²m的圆形区域内，有磁感应强度B＝0.2T，方向如图的匀强磁场，一批带正电的粒子以初速度v₀＝1.0×10⁶m/s，从磁场边界上直径ab的一端a沿着各个方向射入磁场，且初速度方向与磁场方向都垂直，该粒子的比荷为q/m＝1.0×10⁸C/kg，不计粒子重力.求：

（1）粒子的轨迹半径；

（2）粒子在磁场中运动的最长时间；

（3）若射入磁场的速度改为v₀′＝3.0×10⁵m/s，其他条件不变，试用阴影画出该批粒子在磁场中可能出现的区域。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）

例题：在xoy平面内有很多质量为m，电量为e的电子，从坐标原点O不断以相同速率沿不同方向射入第一象限，如图所示.现加一垂直于xOy平面向里、磁感强度为B的匀强磁场，要求这些入射电子穿过磁场都能平行于x轴且沿x轴正向运动，试问符合该条件的磁场的最小面积为多大？（不考虑电子间的相互作用）

例题：地磁场能有效抵御宇宙射线的侵入.赤道剖面外的地磁场可简化为包围地球的一定厚度的匀强磁场，方向垂直该剖面，如图所示.

图中给出了速度在图示平面内、分别从O点沿与地面平行和与地面垂直两个不同方向入射的微观带电粒子（不计重力）在地磁场中的三条运动轨迹a、b、c，且它们都恰不能到达地面，则下列相关说法中正确的是(CD)

A.沿a轨迹运动的粒子带正电

B.若沿a、c两轨迹运动的是相同的粒子，则沿轨迹a运动的粒子的速率更大

C.某种粒子运动轨迹为a，若它速率不变，只改变射入地磁场的方向，则只要其速度在图示平面内，无论沿什么方向人射，都不会到达地面

D.某种粒子运动轨迹为b，若它以相同的速率在图示平面内沿其他方向人射，则有可能到达地面

例题：如图，

磁感应强度大小为B的匀强磁场垂直纸面向里。点A、C、O、D处于一条水平线上，且AC＝CO＝OD＝r。A处有一个粒子源，竖直向上同时射出速率不同的同种带电粒子，粒子经过以O为圆心、r为半径的圆周上各点。已知粒子质量为m，电量的绝对值为q，不计粒子重力和粒子间相互作用力，问：

（1）粒子带正电荷还是负电荷？到达C和到达D处的粒子的速率比v₁:v₂；

（2）求粒子到达圆周所需的最短时间tmin，及最先到达圆周的粒子的速度大小v₃。

例题：如图所示，

x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。在xOy平面内有与y轴平行的匀强电场，在半径为R的圆内还有与xOy平面垂直的匀强磁场。在圆的左边放置一带电微粒发射装置，它沿x轴正方向发射出一束具有相同质量m、电荷量q（q＞0）和初速度v的带电微粒。发射时，这束带电微粒分布在0＜y＜2R的区间内。已知重力加速度为g。

（1）从A点射出的带电微粒平行于x轴从C点进入有磁场区域，并从坐标原点O沿y轴负方向离开，求电场强度和磁感应强度的大小与方向；

（2）请指出这束带电微粒与x轴相交的区域，并说明理由；

（3）若这束带电微粒初速度变为2v，那么它们与x轴相交的区域又在哪里？并说明理由。