【通信技术知识第12讲】

在信号处理领域中，傅里叶变换是一种从时域切换至频域的分析方法。在学习的过程中，我们会遇见连续的时间函数、周期的时间函数、连续的频率函数、周期的频率函数，那么这些周期性、离散性都有怎样的关系呢？

图傅里叶级数

本文需要一定的预备知识，如果你第一次进来，可以看看班长之前的文章哦。

图：进过三棱镜后，光“分解:”了

情况1：连续时间、连续频率

连续时间x(t)的傅里叶变换X(f)可以表示为：

图1：非周期连续时间傅里叶变换

对于非周期、连续时间的信号，其频域函数为连续、非周期波形、这就是我们常见的傅里叶变换：

公式1：连续时间傅里叶变换

情况2：连续时间、离散频率

当连续时间信号为周期函数时，其傅里叶变换具有离散性，呈冲激序列。在这种情况下，表示频谱的另一种方法是写作傅里叶级数的形式。

图2：连续时间傅里叶级数

令x(t)代表一周期为T1的周期性连续时间函数，傅里叶级数的系数写作X(kf1)，则这组变换对写作：

公式2：连续时间傅里叶级数

k为谐波序号，频率间隔f1，周期间隔T1，其中f1=1/T1；周期性的连续时间函数对应于非周期性的离散频率变换函数。

到这里，我们发现一个规律：

时域：周期<------>频域：离散

时域：连续<------>频域：非周期

反过来同样成立：

时域：离散<------>频域：周期

时域：非周期<------>频域：连续

所以，如果我们将连续时间信号离散化，必然会造成频域的周期化。

情况3：离散时间、连续频率

把情况1的连续时间函数离散化，必然会导致频域的周期化。非周期的离散时间函数x(nTs)的变换式呈周期性的连续函数，写作X(f)，如下图所示：

图3：离散序列的傅里叶变换

这种情况与“连续时间、离散频率”的情况完全对称，所以我们可以将变换式写成：

公式3：DTFT

对时间序列按照时间间隔为Ts进行采样。频率函数呈现周期，频率间隔为fs。

非周期的离散时间函数对应于周期性的连续频率变换函数。

情况4：离散时间、离散频率

针对情况3，如果我们再对这个连续的频率函数采样，使其离散化呢？如果频率离散化，必然在时域周期化。

图4：离散时间离散频域

现在我们按照频率间隔f1对情况3的频率函数进行采样，那么借助公式3，我们可以得到：

公式4：对频域采样

情况3中的积分表达式，也由于频率函数的离散化演变成求和形式：

图5：时域表达式的演变过程，来源郑君里信号与系统

由于频率函数按照频率fs重复周期，那么离散时间函数的采样频率为fs，时间间隔为Ts；由于频率函数的采样间隔为f1，那么必然导致离散时间函数的重复周期为T1.所以根据图所示，存在时域、频域各自的一个周期内分别有如下关系

图6：时域采样频率与频域采样频率的关系

所以我们把周期T都替换成N，那么有表达式：

公式6：DFS

这样我就得到了时间上离散的、周期的，频率上离散的、周期的一对变换，我们把它叫做离散傅里叶级数DFS。当然啦，DFS经过严格的数学证明也是成立的，如果你感兴趣，可以去研读信号与系统的教材。

总结：

进过上述四种情况的讨论，我们发现一个美妙的对称性，就是周期会造成离散、连续会形成非周期。从能量的角度就更好理解了，不管你怎么变换，能量是守恒的吧。如果在时间轴上是连续周期的函数，那么可以认为其能量无限大，必然在频率轴上有无限个谐波分量；如果在时间轴上为连续的非周期，能量有限，必然在频率轴上也要能量有限，频谱是是非周期的连续的。

下图是《信号与系统》教材中总结的傅里叶变换四种形式，可以直观的看出时域与频域的关系。

图7：傅里叶变换的四种关系