即闭区间［ａ，ｂ］的任一开覆盖Ｈ， 都有有限的子覆盖

证:

(1)设有理数ｒ∈[ａ，ｂ］，使闭区间［ａ，ｒ］能被Ｈ 中有限个开区间覆盖

把［ａ， ｂ］上的这种有理数的全体排成一个数列｛ｒｎ｝,

因为存在一个开区间（α，β）∈Ｈ 使 ｒｎ∈（α，β），

在（α，β）∩［ａ，ｂ］内含有无穷多个有理数，所以｛ｒｎ｝是存 在的；

(2)将数列｛ｒｎ｝单调化，取xn ＝ｍａｘ｛ｒ１，ｒ２，⋯ ，ｒｎ｝，则数列｛xn｝单调递增有上界；

(3) 由单调有界定理得，ζ＝ xn 且ｒｎ ≤ xn ≤ζ，ｎ ＝１，２，⋯ ；

(4) 因xn ∈［ａ，ｂ］，ｎ ＝１，２，⋯，

由(3)得ζ∈［ａ，ｂ］，故ζ必在Ｈ 中的某 个开区间（α１，β１）中

再由（3），一定有ｒＮ ∈｛ｒｎ｝，使α１＜ｒＮ ≤ζ

又由 ①［ａ，ｒｎ］能被Ｈ 中有限个开区间覆盖, 故只需把（α１，β１）加进去

［ａ，ζ］ 能被Ｈ 中有限个开区间覆盖

若ζ＝ｂ，则说明［ａ，ｂ］能被Ｈ 中有限个开区间覆盖

用反证法

若ζ＜ｂ，由 于［ａ，ｂ］内的有理数在［ａ，ｂ］上处处稠密，

故一定存在有理数ｒ′，使得ζ＜ｒ′ ＜min｛β，ｂ｝，

这样一来，［ａ，ｒ′］能被Ｈ 中有限个开区间覆盖，

故ｒ′∈｛ｒｎ｝， 与（3）矛盾， 所以，ζ＝ｂ。

这个证明的思路就是，先在区间[ａ，ｂ］中取一段［ａ，ｒ］，假设这一段能被Ｈ 中有限个开区间覆盖。

接下来，把[ａ，ｂ］中的所有有理数排成一列。

如果ｒｎ不属于［ａ，ｒ］，则一个一个加入进去。