对于许多小朋友来说，数学的魅力，在魔方上就体现得淋漓尽致。不过近日，量子物理学家 Gemma De las Cuevas 又携手另外两位数学家（Tim Netzer 和 Tom Drescher），对所谓的“量子幻方”的概念及其性质，展开了更加深入的研究。此前多年，幻方一直停留在人类的想象层面。而已知最古老的幻方，甚至可追溯到 2000 年前的中国。

资料图（来自：西班牙国家图书馆 / CC BY-NC-SA 4.0）

不过西方研究人员相对更加熟悉的，或许包括阿尔布雷希特·丢勒（Albrecht Dürer）在铜版画上描绘的《Melencolia I》，以及西班牙巴塞罗那圣家族大教堂的那一块。

作为一组数字的集合体，幻方在每一行（或列）上的数字排布，都具有特殊的意义。比如圣家堂的那个幻方，其每行 / 每列数字之和都是 33 。

如果允许包含实数，则每行 / 每列之和为 1 的幻方，亦可被称之为‘双随机矩阵’。

在特殊情况下，你甚至可以看到每一行和每一列都有一个数字 1，但其它格子上都是 0 —— 这又被称作‘置换矩阵’。

某著名定理指出，每个双随机矩阵都可作为置换矩阵的凸组合（convex combination）而获得 —— 换言之，置换矩阵也包含了双随机矩阵的所有秘密。

不过更准确的说法，就是后者能够根据前者来“完全表征”（fully characterized）。

有趣的是，在近日发表于《数学物理杂志》（Journal of Mathematical Physics）的一篇新论文中，数学家 Tim Netzer 和 Tom Drescher 就携手理论物理学家 Gemma De las Cuevas，介绍了他们对于“量子幻方”这一概念的深入理解。

这篇文章的标题为《量子幻方：膨胀及其局限性》，主要差异在于数字矩阵的不可交换性（non-commutative）。

作者指出，量子幻方并不能像“经典”幻方那样容易表征 —— 更准确的说法是，量子幻方不是量子置换矩阵的“凸组合”。

Tom Drescher 解释称：“量子幻方的形式更加丰富，也更难被人们所理解。在研究这种性质的时候，通常都会涉及不可交换性的主题”。

Gemma De las Cuevas 和 Tim Netzer 补充道：“这项工作很好地展示了跨学科合作的益处，因为相关研究正处于代数几何与量子信息的交岔口”。