怎么描述物质的扩散？对比热传导方程，物质的扩散方程又会有什么区别？如何通过δ函数和奇延拓的方式得到一维扩散方程的解？

3月3日12时，《张朝阳的物理课》第一百二十六期开播，搜狐创始人、董事局主席兼CEO张朝阳坐镇搜狐视频直播间 ，首先带我们复习了前面课程中提到的热传导方程的建立，随后通过菲克定律和物质守恒定律，建立了扩散方程。最后通过换元、奇延拓以及引入δ函数的方式，推导并获得了一维单向物质扩散方程的解。

回顾热传导方程并通过类比得到扩散方程

张朝阳先是回顾了之前推导热传导方程的过程：通过傅里叶定律可以得到热流密度qT，即下面第一个等式（它表示单位时间内通过单位截面的热量正比于垂直于该截面方向上的温度变化率，而热量传递的方向和温度升高的方向相反）；再由热力学第一定律可知，在没有外部做功的情况下，内能的增量等于获得的热量，即下面第二个等式；由此可以列出如下等式：

其中κ是傅里叶导热定律中的系数，ρ是物质密度，Cv是单位质量的定体热容。将第一个等式中傅里叶定律中的热流密度qT代入第二个等式即可得到热传导方程，即：

其中α为热传导系数。

张朝阳提到，这里很有趣的一点在于，物质的扩散和热量的传递很相似。由菲克定律可以得到物质流量密度qn，即下面第一个等式（它表示单位时间内通过单位截面的物质流量正比于垂直于该截面方向上的浓度梯度，而物质流量的方向和浓度升高的方向相反）；同时结合物质守恒定律可以得到下面第二等式，如下：

其中D为扩散系数，n(t,r)为密度函数。可以看到它的形式和热传导方程的形式非常的像，同样将第一个等式中物质流密度qn代入第二个等式即可得到扩散方程：

仅从方程的形式来看，相比于热传导方程，物质扩散方程只是变了函数和系数，这也方便了我们后面类比。

（张朝阳推导扩散方程）

用δ函数描述一维单向扩散方程

在一维单向扩散问题中，分析氧气向金属中扩散的过程。假设氧化铁只有一面与氧气接触，且氧气的浓度一直保持n0，这样可以列出一维单向扩散函数f(x)的初始条件为：

和之前求解一维无限长杆的热传导问题一样，对于扩散方程也可以引入格林函数帮助解决物质扩散的问题。即对于f(x)作为初始条件的情况，一般可以写成δ函数的形式，可得：

已知之前所求得的无穷长杆以δ函数为初始条件的温度分布的解为（具体推导过程可以查询第一百二十一期）：

由于δ(x-y)的初始条件会导致φ(x-y)的温度分布，所以将这些解乘以f(y)dy并对全域积分即可得到对于f(x)为边界条件的一般解T(t,x)，为：

由于前面提到的热传导方程和扩散方程之间只有系数的区别，所以将热传导方程中的热传导系数α换为扩散方程中的扩散系数D，即可得到密度函数n(t,r)为：

使用奇延拓的方法求解一维单向扩散方程的解

对于第一类边界条件（狄利克雷边界条件）常常会使用奇延拓的方法求解方程的解，正好这个模型就属于这类情况，张朝阳巧妙地对一维单向扩散f(x)在初始条件下的方程进行了变形，使x=0时f(x)=0（方便后面进行奇延拓），可以得到：

由于研究的对象只有x>0的部分，加上奇延拓并不会影响密度函数n(t,x)，所以这里对f(x,t=0) -n0进行奇延拓可以得到k(x):

这里k(x)是由f(x)-n0进行奇延拓得到的，所以密度函数n(t,x)- n0为：

为了计算方便进行换元，令z = y-x可得：

将k(x)代入等式中并利用高斯函数的对称性对积分区域进行变化，可得：

（张朝阳推导奇延拓的扩散方程）

用误差函数表示一维单向扩散方程的解

高斯函数的不定积分是误差函数（也叫高斯误差函数）。在统计学和偏微分方程中都有比较多的应用。误差函数的形式为：

和误差函数经常一起出现的是余误差函数（或称互补误差函数），其形式如下：

误差函数与余误差函数具有相加为1的性质，即：

为了将形式化简，张朝阳对n(t,x) - n0进行换元，使：

将其代入n(t,x) - n0中可得：

根据前面提到的误差函数，并结合高斯函数的对称性，有：

根据高斯函数的对称性将误差函数代入n(t,x) - n0，可以表示为：

过误差函数和与余误差函数的关系可得：

（张朝阳用余误差函数表示密度函数）

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