什么是马尔科夫链？

继2023年高考数学之后，马尔科夫链一度成为炙手可热的考点。大家都在讲随机过程、随机游走、转移概率、矩阵等名词，可是对于高中生来说，他们没有那么高深的数学修养。今天就从最低级的角度来讲一讲什么是马尔科夫链。

它的本质就是特殊的数列递推关系。在推导这个关系的过程中，要知道什么时候用加法原理，什么时候用乘法原理，还要借助一个强有力的工具，就是竖状图，它可以直观地向我们展示前后状态的关系。

就拿23年的高考题第二问来举例，看看如何去分析甲乙两个人投篮，每次由其中一个人来投。规则就是这个人如果投中，下一次继续投篮，投第二次投篮的人是甲的概率。

先来列几项分析分析。

·第一次投篮的概率有可能是甲，有可能是乙，概率各占1/2。

·第二次也有可能是甲或者乙，但是这个概率就不能单纯的用1/2、1/2来算。第一次甲，第二次也是甲，说明甲获胜了，甲的命中率是0.6，也就是3/5，所以这一块的概率就是3/5。同理，如果第一次是甲，第二次是乙，说明第一次甲没有命中，对应的这里的概率就是2/5。

·再来看这种情况，如果是乙去投，第二次有甲投篮，说明乙没有命中，乙命中的概率是4/5，没有命中的概率就是1/5。

·再来看最后一种情况，第一次乙去投，第二次乙还去投，说明第一次乙命中了，命中的概率就是4/5。

竖状图后边的就先不列了，到第三次有八种情况就列不开了。从刚刚的分析里边大概能发现，每一次投篮的情况要么是甲，要么是乙。现在要求的是第二次投篮是甲的概率，就倒着往前推。第二次甲投篮的概率即为pi，前一次就是第1-1次，1-1次甲投篮的概率即为pi-1。

对于i-1次来说就两种状态，要么甲去投篮，要么乙去投篮。甲投篮的概率是pi-1，乙投篮的概率就是1减去pi-1，再往后推一次。到了第二次之后有可能是甲，有可能是乙。如果是这种情况，说明这一次甲投中了，下一次才会让甲来投，甲投中的概率是3/5，所以到这一步对应的概率就是3/5。

现在再来看这种情况，这种情况也是第i次甲去投篮的情况。前一次乙投篮，这一次是甲投篮，说明乙没有命中，乙没有命中的概率就是1/5。由竖状图就能够分析出来，第i次甲投篮总共有两种情况，这一种还有这一种，分这两类，分类用加法。

这两种情况的概率分别加起来，但是从这里到这里是一步一步来的，分步就用乘法，所以最终pi就等于这种情况，就是3/5乘上pi-1。后边这种情况就是1/5乘上一减pi-1。把这个式子化简一下就得到了这个式子，这个就是第i项与第i减一项之间的递推关系。

后边这个式子怎样去解？就是数列求通项的内容了，这里不过多解释。这个视频就是给大家提供一个解题思路，在分析这种复杂问题的时候可以借助最简单的竖状图。这个思考过程你听明白了吗？