1.2　集合间的基本关系

学 习 目 标

核 心 素 养

1.理解集合之间的包含与相等的含义．(重点)

2．能识别给定集合的子集、真子集，会判断集合间的关系．(难点、易混点)

3．在具体情境中，了解空集的含义．(难点)

1.通过对集合之间包含与相等的含义以及子集、真子集概念的理解，培养数学抽象素养．

2．借助子集和真子集的求解，培养数学运算素养.

1．Venn图的优点及其表示

(1)优点：形象直观．

(2)表示：通常用封闭曲线的内部代表集合．

2．子集、真子集、集合相等的相关概念

思考1：(1)任何两个集合之间是否有包含关系？

(2)符号“∈”与“⊆”有何不同？

提示：(1)不一定．如集合A＝{0,1,2}，B＝{－1,0,1}，这两个集合就没有包含关系．

(2)符号“∈”表示元素与集合间的关系；

而“⊆”表示集合与集合之间的关系．

3．空集

(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.

(2)规定：空集是任何集合的子集．

思考2：{0}与∅相同吗？

提示：不同．{0}表示一个集合，且集合中有且仅有一个元素0；而∅表示空集，其不含有任何元素，故{0}≠∅.

4．集合间关系的性质

(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A⊆A.

(2)对于集合A，B，C，

①若A⊆B，且B⊆C，则A⊆C；

②若A

B，B

C，则A

C.

(3)若A⊆B，A≠B，则A

B.

1．设集合M＝{1,2,3}，N＝{1}，则下列关系正确的是(　　)

A．N∈M　　 B．N∉M

C．N⊇M D．N⊆M

D　[∵1∈{1,2,3}，∴1∈M，

又2∉N，∴N⊆M.]

2．下列四个集合中，是空集的为(　　)

A．{0}

B．{x|x>8，且x<5}

C．{x∈N|x2－1＝0}

D．{x|x>4}

B　[满足x>8且x<5的实数不存在，故{x|x>8，且x<5}＝∅.]

3．集合{0,1}的子集有________个．

4　[集合{0,1}的子集有∅，{0}，{1}，{0,1}，共4个．]

4．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{1,2}，C＝{x|x<8，x∈N}，用适当的符号填空：

(1)A________B；(2)A________C；

(3){2}________C；(4)2________C.

(1)＝　(2)

　(3)

　(4)∈　[集合A为方程x2－3x＋2＝0的解集，即A＝{1,2}，而C＝{x|x<8，x∈N}＝{0,1,2,3,4,5,6,7}．故(1)A＝B；(2)A

C；(3){2}

C；(4)2∈C.]

集合间关系的判断

【例1】　判断下列各组中集合之间的关系：

(1)A＝{x|x是12的约数}，B＝{x|x是36的约数}；

(2)A＝{x|x是平行四边形}，B＝{x|x是菱形}，C＝{x|x是四边形}，D＝{x|x是正方形}；

(3)A＝{x|－1<x<4}，B＝{x|x<5}．

[解]　(1)因为若x是12的约数，则必定是36的约数，反之不成立，所以A

B.

(2)由图形的特点可画出Venn图如图所示，从而D

B

A

C.

(3)易知A中的元素都是B中的元素，但存在元素，如－2∈B，但－2∉A，故A

B.

判断集合关系的方法.

(1)观察法：一一列举观察.

(2)元素特征法：首先确定集合的元素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集合元素的特征判断关系.

(3)数形结合法：利用数轴或Venn图.

提醒：若A⊆B和A

B同时成立，则A

B更能准确表达集合A，B之间的关系.

1．能正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2－x＝0}关系的Venn图是(　　)

B　[解x2－x＝0得x＝1或x＝0，故N＝{0,1}，易得N

M，其对应的Venn图如选项B所示．]

子集、真子集的个数问题

【例2】　已知集合M满足：{1,2}

M⊆{1,2,3,4,5}，写出集合M所有的可能情况．

[解]　由题意可以确定集合M必含有元素1,2，且至少含有元素3,4,5中的一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：

含有3个元素：{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}；

含有4个元素：{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}；

含有5个元素：{1,2,3,4,5}．

故满足条件的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．

1．求集合子集、真子集个数的3个步骤

2．与子集、真子集个数有关的4个结论

假设集合A中含有n个元素，则有

(1)A的子集的个数有2n个．

(2)A的非空子集的个数有2n－1个．

(3)A的真子集的个数有2n－1个．

(4)A的非空真子集的个数有2n－2个．

2．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，试写出A的所有子集及真子集．

[解]　∵A＝{(x，y)|x＋y＝2，x，y∈N}，

∴A＝{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．

∴A的子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}，{(0,2)，(1,1)，(2,0)}．

A的真子集有∅，{(0,2)}，{(1,1)}，{(2,0)}，{(0,2)，(1,1)}，{(0,2)，(2,0)}，{(1,1)，(2,0)}．

,

由集合间的关系求参数

[探究问题]

集合A＝{x|1<x<b}中一定含有元素吗？当A中含有元素时，试用数轴表示其所包含的元素．

提示：不一定．当b≤1时，A＝∅，其不含有任何元素，当b>1时，集合A中的元素用数轴可表示为：

【例3】　已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B

A，求实数m的取值范围．

[思路点拨]　

分B＝∅和B≠∅结合数轴―→

[解]　(1)当B＝∅时，

由m＋1>2m－1，得m<2.

(2)当B≠∅时，如图所示．

∴或

解这两个不等式组，得2≤m≤3.

综上可得，m的取值范围是{m|m≤3}．

1．若本例条件“A＝{x|－2≤x≤5}”改为“A＝{x|－2<x<5}”，其他条件不变，求m的取值范围．

[解]　(1)当B＝∅时，由m＋1>2m－1，得m<2.

(2)当B≠∅时，如图所示，

∴解得即2≤m<3，

综上可得，m的取值范围是{m|m<3}．

2．若本例条件“B

A”改为“A⊆B”，其他条件不变，求m的取值范围．

[解]　当A⊆B时，如图所示，此时B≠∅.

∴即∴m不存在．

即不存在实数m使A⊆B.

1．利用集合的关系求参数问题

(1)利用集合的关系求参数的范围问题，常涉及两个集合，其中一个为动集合(含参数)，另一个为静集合(具体的)，解答时常借助数轴来建立变量间的关系，需特别注意端点问题．

(2)空集是任何集合的子集，因此在解A⊆B(B≠∅)的含参数的问题时，要注意讨论A＝∅和A≠∅两种情况，前者常被忽视，造成思考问题不全面．

2．数学素养的建立

通过本例尝试建立数形结合的思想意识，以及在动态变化中学会用分类讨论的思想解决问题．

1．A⊆B隐含着A＝B和A

B两种关系．

2．求集合的子集时，可按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．

3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法

(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；

②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．

(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答．

1．思考辨析

(1)空集中只有元素0，而无其余元素．(　　)

(2)任何一个集合都有子集．(　　)

(3)若A＝B，则A⊆B或B⊆A.(　　)

(4)空集是任何集合的真子集．(　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)√　(4)×

2．集合A＝{x|0≤x<3，x∈N}的真子集的个数是(　　)

A．16　　 B．8

C．7 D．4

C　[易知集合A＝{0,1,2}，含有3个元素，∴A的真子集有23－1＝7个．]

3．已知集合A＝{－1,3，m}，B＝{3,4}，若B⊆A，则实数m＝________.

4　[由B⊆A可知，m＝4.]

4．已知集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{x|1≤x≤a，a≥1}．

(1)若A

B，求a的取值范围；

(2)若B⊆A，求a的取值范围．

[解]　(1)若A

B，则集合A中的元素都在集合B中，且B中有不在A中的元素，则a>2.

(2)若B⊆A，则集合B中的元素都在集合A中，则a≤2.

因为a≥1，

所以1≤a≤2.