线性代数的第一讲和第二讲，我们分别学习了二阶行列式和三阶行列式的定义及解法，今天我们继续来学一学第三讲，有关全排列的知识点。

我们在高中接触过全排列的概念，想你大家应该还知道吧？

我们先来看一个例子：

例如1：用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？

解：我们用列举法将所有情况都列举出来，如下所示：123、132、213、231、312、321，通过排列，发现有3×2×1＝3！＝6（种）放法。

例如2：用1、2、3、4四个数字，可以组成多少个没有重复数字的四位数？

解：用列举法将所有情况都列举出来，如下所示：1234、1243、1324、1342、1423、1432、2134、2143、2314、2341、2413、2431、3124、3142、3214、3241、3412、3421、4123、4132、4213、4231、4312、4321，通过排列，发现有4×3×2×1=4！＝24（种）放法。

如果我们一直按照上面的方法进行列举排列，就会得到5个数字有5×4×3×2×1=5！＝120（种）放法，6个数字有6×5×4×3×2×1=6！＝720（种）放法……一直到n个数字有n×（n－1）×（n－2）×……×3×2×1＝n！（种）放法。

根据上述的例子，即可得到全排列定义：

定义：把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列，n个不同元素的所有排列的总数，通常用Pn表示。

显然：Pn＝n×（n－1）×（n－2）×……×3×2×1＝n！

既n个不同元素一共有n!种不同的排法。

我们以3个不同的元素进行排列，然后再根据所有的排列进行探究，3个不同的元素一共有3！＝6种不同的排法。

一共6种不同的排法中，只有（123）一种排法的数字是按从小到大的自然顺序进行排列的，然而其他排列中都有大的数字在小的数字前面。因此大部分的排列都不是顺序排列，称不是顺序排列的排列为逆序排列。

注意：所以说数字不按从小到大排列，就称为逆序排列。并且我们也可以称n个不同的自然数按从小到大排列，该排列就为标准次序。

此时可以得到逆序定义：一个排列中某两个元素的先后次序与标准次序不同时，此时称这两个元素组成一个逆序。

例如：在排列32514中的逆序为多少？

解：根据定义，逆序为32、31、21、、51、54

注意：我们在确定逆序时，不管数字是否相邻，只要满足大数字在小数字前面即可。

所以说，我们在查询逆序时，可以按照从左到右的顺序依次查找，以防漏掉。

通过逆序的查找，将逆序总和加起来，此时称总和为逆序数，定义如下：

定义：排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数。

注意：另t为逆序数，t1,t2……tn为逆序，那么t＝t1＋t2＋t3

得到的逆序数中，有奇数和偶数，此时可以得到以下两个概念：

一、奇排列：逆序数为奇数的排列。

二、偶排列：逆序数为偶数的排列。

注意：我们的标准次序（123），因为逆序数为零，所以是偶排列。

根据上述讲解，我们来看一看例题，以便大家更好理解定义。

例一、求排列32514的逆序数。

解：根据定义，逆序为32、31、21、51、54 。

所以逆序数t(32514)＝5 。

例二、求下列排列的逆序数，并说明奇偶性。

（1）、453162 。 （2）、543162 。

解：（1）根据定义可知，逆序为43、41、42、53、51、52、31、32、62 。

所以逆序数t(453162)＝9，逆序数是一个奇数，所以该排列是一个奇排列。

（2）根据定义可知，逆序为54、53、51、52、43、41、42、31、32、62 。

所以逆序数t(543162)＝10，逆序数是一个偶数，所以该排列是一个偶排列。

根据上述学习，大家下去过后，做一做上面的练习题，做出来的朋友，评论区留下答案，以便大家借鉴。