1. SN曲线

S-N曲线是疲劳分析的基础，它描述了材料应力与循环寿命的关系。由于材料的疲劳特性不可避免地存在分散性，因此中值S-N曲线实际上不能满足工程设计和疲劳分析的需要，必须考虑疲劳试验的统计特性。当需要考虑特定失效概率时S-N曲线被称为P-S-N曲线。

我们将基于某材料的单轴拉伸试验数据进行一次P-S-N曲线的制作。

2. 试验方法及数据

一般S-N曲线使用单轴拉伸试验数据制作。单轴疲劳是指材料或零件在单向循环载荷作用下所产生的失效现象。零件只受单向正应力（应变）或单向切应力（应变），如只承受单向“拉—压”循环应力，弯曲应力或扭转循环应力。 单轴拉伸试验数据使用单轴疲劳试验机施加轴向拉压载荷得出。

在有限疲劳寿命区采用成组法测试试样的疲劳特性，应力分为5级。因为在高周疲劳区间，疲劳寿命的分散性很大，疲劳极限值可以通过升降法测定，循环基数一般为1e+07次。

本文忽略了疲劳极限的测定、数据检验和可疑数据取舍，假设试验数据符合正态分布且样本数量充足。

有这样一组成组法疲劳试验数据，应力比为R=-1，试验环境为室温，如下所示：

可以假设各个应力水平中，失效寿命呈现正态分布。将这些数据点绘制于双对数坐标系：

3. 数据处理

3.1 由于材料的S-N特性在双对数坐标系下呈线性，随后将使用最小二乘法对数据进行线性拟合，因此将疲劳数据转换为对数值：

3.2 计算各个应力水平子样的平均值

使用公式：

计算结果：

x average(σa=450)

4.0761

x average(σa=353)

4.2634

x average(σa=273)

4.6228

x average(σa=204)

5.1891

x average(σa=171)

5.5633

3.3 计算各个应力水平子样的标准差

计算结果：

S(σa=450)

0.0578

S(σa=353)

0.0385

S(σa=273)

0.0526

S(σa=204)

0.1688

S(σa=171)

0.1812

3.4 计算给定存活率P和标准正态偏差Up的概率疲劳寿命xp

概率疲劳寿命的计算公式如下：

当存活率P=99.9% 时，计算得到：

UP=99.9% = -3.090

β值在标准差修正因数表中查找：

可以计算得到：

xp=0.999(σa=450)

3.8862

xp=0.999(σa=353)

4.1368

xp=0.999(σa=273)

4.4498

xp=0.999(σa=204)

4.6586

xp=0.999(σa=171)

4.9939

同理，可以计算得到当存活率P=90% 时的概率疲劳寿命：

xp=0.9(σa=450)

3.9974

xp=0.9(σa=353)

4.2109

xp=0.9(σa=273)

4.5511

xp=0.9(σa=204)

4.9691

xp=0.9(σa=171)

5.3271

3.5 使用最小二乘法拟合

使用最小二乘法对参数B和A进行估算：

本文采用幂函数拟合P-S-N曲线。

求得参数B和A后，使用如下关系求得疲劳强度指数b和疲劳强度系数S'f :

使用上述公式求得如下参数：

1. 存活率为50%时（使用3.2节求得的平均值）：

B=

-3.60594

A =

13.52685

b =

-0.27732

S'f =

5639.89

S-N函数表达式：

2. 存活率为90%时：

B=

-3.15476

A =

12.29598

b =

-0.31698

S'f =

7899.404

S-N函数表达式：

3. 存活率为99.9%时：

B=

-2.518

A =

10.5588

b =

-0.3971

S'f =

15607.4

S-N函数表达式：

将这3条P-S-N曲线绘制于同一坐标系下：

可见，存活率越高，S-N曲线的“高度”越低。

当使用较高的存活率进行疲劳分析时，得到的损伤值也会更高。

将试验数据与P-S-N曲线绘制于同一坐标系下可以更好地显示它们之间的关系：

4. 小结

本文简单地描述了P-S-N曲线的制作过程，用制作P-S-N曲线的过程揭示了它的原理。

在此基础上可以进行如下小节：

1) 材料疲劳的分散性是不可避免的，并且这种分散性随着应力幅的减小而更加显著。因此在材料疲劳特性的试验分析中必须引入失效概率，否则试验数据无法满足实际工程要求。

2) 失效概率会显著影响S-N曲线的“高低”，当设计师要求使用不同的存活概率进行CAE疲劳分析时，分析出的损伤值也会受到显著影响。因此设计师必须慎重选择存活概率。

参考文献：

[1] 高镇同，疲劳应用统计学 [M]. 北京：国防工业出版社, 1986

[2] Yung-Li Lee，疲劳试验测试分析理论与实践 [M]. 北京：国防工业出版社, 2011

[3] 伊为恺，疲劳试验中的数据处理 [J]. 北京：洪都科技, 1995