第三十二讲 最大公约数法

通过计算出几个数的最大公约数来解题的方法，叫做最大公约数法。

例1 甲班有42名学生，乙班有48名学生，现在要把这两个班的学生平均分成若干个小组，并且使每个小组都是同一个班的学生。每个小组最多有多少名学生？（适于六年级程度）

解：要使每个小组都是同一个班的学生，并且要使每个小组的人数尽可能多，就要求出42和48的最大公约数：

2×3=6

42和48的最大公约数是6。

答：每个小组最多能有6名学生。

例2 有一张长150厘米、宽60厘米的长方形纸板，要把它分割成若干个面积最大，井已面积相等的正方形。能分割成多少个正方形？（适于六年级程度）

解：因为分割成的正方形的面积最大，并且面积相等，所以正方形的边长应是150和60的最大公约数。

求出150和60的最大公约数：

2×3×5=30

150和60的最大公约数是30，即正方形的边长是30厘米。

看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。这说明，当正方形的边长是30厘米时，长方形的长150厘米中含有5个30厘米，宽60厘米中含有2个30厘米。

所以，这个长方形能分割成正方形：

5×2=10（个）

答：能分割成10个正方形。

例3 有一个长方体的方木，长是3.25米，宽是1.75米，厚是0.75米。如果将这块方木截成体积相等的小正方体木块，并使每个小正方体木块尽可能大。小木块的棱长是多少？可以截成多少块这样的小木块？（适于六年级程度）

解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此题实际是求325、175和75的最大公约数。

5×5=25

325、175和75的最大公约数是25，即小正方体木块的棱长是25厘米。

因为75、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方体木块的棱长是25厘米，所以，在75厘米中包含3个25厘米，在175厘米中包含7个25厘米，在325厘米中包含13个25厘米。

可以截成棱长是25厘米的小木块：

3×7×13=273（块）

答：小正方体木块的棱长是25厘米，可以截成这样大的正方体273块。

例4 有三根绳子，第一根长45米，第二根长60米，第三根长75米。现在要把三根长绳截成长度相等的小段。每段最长是多少米？一共可以截成多少段？（适于六年级程度）

解：此题实际是求三条绳子长度的最大公约数。

3×5=15

45、60和75的最大公约数是15，即每一小段绳子最长15米。

因为短除式中最后的商是3、4、5，所以在把绳子截成15米这么长时，45米长的绳子可以截成3段，60米长的绳子可以截成4段，75米长的绳子可以截成5段。所以有：

3+4+5=12（段）

答：每段最长15米，一共可以截成12段。

例5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分别分成人数相等的若干组后，男、女生各剩3人。要使组数最少，每组应是多少人？能分成多少组？（适于六年级程度）

解：因为男、女生各剩3人，所以进入各组的男、女生的人数分别是：

234-3=231（人）…………………男

146-3=143（人）…………………女

要使组数最少，每一组的人数应当是最多的，即每一组的人数应当是231人和143人的最大公约数。

231、143的最大公约数是11，即每一组是11人。

因为231、143除以11时，商是21和13，所以男生可以分为21组，女生可以分为13组。

21+13=34（组）

答：每一组应是11人，能分成34组。

例6 把330个红玻璃球和360个绿玻璃球分别装在小盒子里，要使每一个盒里玻璃球的个数相同且装得最多。一共要装多少个小盒？（适于六年级程度）

解：求一共可以装多少个盒子，要知道红、绿各装多少盒。要将红、绿分别装在盒子中，且每个盒子里球的个数相同，装的最多，则每盒球的个数必定是330和360的最大公约数。

2×3×5=30

330和360的最大公约数是30，即每盒装30个球。

330÷30=11（盒）……………红球装11盒

360÷30=12（盒）……………绿球装12盒

11+12=23（盒）……………共装23盒

答略。

例7 一个数除40不足2，除68也不足2。这个数最大是多少？（适于六年级程度）

解：“一个数除40不足2，除68也不足2”的意思是：40被这个数除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被这个数整除；68被这个数除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被这个数整除。

看来，能被这个数整除的数是：40+2=42，68+2=70。这个数是42和70的公约数，而且是最大的公约数。

2×7=14

答：这个数最大是14。

例8 李明昨天卖了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整千克。第一筐卖了1.04元，第二筐卖了1.95元，第三筐卖了2.34元。每1千克白菜的价钱都是按当地市场规定的价格卖的。问三筐白菜各是多少千克，李明一共卖了多少千克白菜？（适于六年级程度）

解：三筐白菜的钱数分别是104分、195分、234分，每千克白菜的价钱一定是这三个数的公约数。

把104、195、234分别分解质因数：

104=23×13

195=3×5×13

234=2×32×13

104、195、234最大的公有的质因数是13，所以104、195、234的最大公约数是13，即每千克白菜的价钱是0.13元。

1.04÷0.13=8（千克）………第一筐

1.95÷0.13=15（千克）………第二筐

2.34÷0.13=18（千克）………第三筐

8+15+18=41（千克）

答：第一、二、三筐白菜的重量分别是8千克、15千克、18千克，李明一共卖了41千克白菜。

例9 一个两位数除472，余数是17。这个两位数是多少？（适于六年级程度）

解：因为这个“两位数除472，余数是17”，所以，472-17=455，455一定能被这个两位数整除。

455的约数有1、5、7、13、35、65、91和455，这些约数中35、65和91大于17，并且是两位数，所以这个两位数可以是35或65，也可以是91。

答略。

例10 把图32-1的铁板用点焊的方式焊在一个大的铁制部件上，要使每个角必须有一个焊点，并且各边焊点间的距离相等。最少要焊多少个点？（单位：厘米）（适于六年级程度）

解：要求焊点最少，焊点间距就要最大；要求每个角有一个焊点，焊点间距离相等，焊点间距离就应是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公约数。

2×3=6

它们的最大公约数是6，即焊点间距离为6厘米。焊点数为：

7+4+3+6=20（个）

按这个算法每个角上的焊点是两个，因为要求每一个角上要有一个焊点，所以，要从20个焊点中减4个焊点。

20-4=16（个）

答略。