线性代数是连贯性很强的一门学科，上课时稍一走神有可能就听不懂老师接下来讲的内容。之前跟着B站一位从事人工智能多年的大佬的机器学习路线图来学习，他建议小白基础知识学习中，线性代数先掌握向量、矩阵、运算、范数、特征向量和特征值就可以了。

不过，在学习了矩阵和向量后，发现矩阵秩和向量秩涉及到行列式的知识点了，这两块内容根本听不懂。所以又返回来复习行列式。

如果这篇文章有幸被正在上大学的同学们看到，接受大哥哥的劝：要好好学习每一门课程，说不定参加工作后会用到。如果像大哥哥以前那样荒废光阴，现在就要起早贪黑的把知识补回来[捂脸]

如果这篇文章有幸被参加多年工作的同学们看到，说明大家都找到了志同道合的人。看到机器学习要复习的知识点很多，有时候一天下来学习的东西微不足道，也自我怀疑过，也想过放弃，但是咬牙坚持了下来了，学过了，然后进行复习，再去运用到工作中，相信会熟能生巧。大家一起加油，共勉！

学习线性代数，推荐大家看B站宋浩老师的视频，视频链接：

n阶行列式

排列：由1，2，...n组成的一个有序(中间不能缺数)数组叫n级排列

像 123 132 213 231 312 321就叫3级排列

n级排列有多少种可能：n(n-1)...3×2×1=n!

逆序：比较大的数排到了比较小的数的前面

逆序数：数一数排列中有多少数，即逆序的总数

逆序数表示：如排列4213，从左到右，4比2、1、3都大，所以逆序数有3个；依次类推，2 比1大，所以逆序数有1个；1小于3，所以没有逆序数。

逆序数一般用N表示，因此，N(4213) = 3 + 1 = 4

逆序数是奇数的叫奇排列；逆序数是偶数的叫偶排列

N(1 2 3 ...n)=0 这种从1到2到3...n标准排列，逆序数等于0，就叫做n级标准排列或n级自然排列

下面举一个例子推导一个定理：

N(54123) = 4+3+0+0 = 7

N(54213) = 4+3+1+0 = 8

逆序数对换两个数，逆序数的奇偶性就发生了改变。可推出经过多方证明得到的定理：

n级排列中，奇排列、偶排列各占

下图中的3阶行列式，行标取标准排列。列标取排列的所有可能，从不同行不同列取出3个元素相乘，符号由列标排列的奇偶性决定：列表排列的逆序数是奇数，三个元素相乘取负；列表排列的逆序数是偶数，三个元素相乘取正

行列式正负号求导

经过一系列推导，行按标准排列展开的n阶行列式得出的结果为

n阶行列式按行展开求导

n阶行列式计算还有些特殊的形式：

1、上三角、下三角、对角形的行列式等于主对角线乘积

2、以次对角线为界，此对角线以上全为0，这里就叫它山寨下三角行列式，依此类推，山寨上三角、山寨下三角、山寨对角形的行列式的值为：

n阶行列式的特殊形式

除了按行排列求行列式、特殊行列式的求值外，还有按列求行列式、既不按列又不按行求行列式的求法。经过一系列推导，得到下图公式：

按列、既不按行也不按列的行列式求值推导公式

行列式的性质

转置的符号是 、，不过很少用

什么是转置呢？就是将行列式的每一列按每一行表示，组成新的行列式，就叫转置

行列式的性质：

性质1： = 对行成立的性质，对列也成立

性质2：两行互换，值变号 推论：两行(列)相等，D=0

性质3：某一行都乘以k 等于用k乘以D

推论：行列式所有元素均有公因子k，k外提n次

还有一个重要推论：两行对应成比例、某一行全为0、两行相等都可以推出D=0;但是，D=0,未必推出两行对应成比例、某一行全为0、两行相等

性质4：行列式某一行等于两数之和，和的那一列分开，其余行保持不变

行列式某一行等于两个行列式某一行之和

性质5：某一行(列)乘以一个数，加到零一行(列)上去，D不变

性质5的推导

行列式的计算

行列式的计算：把行列式换算为上三角，然后D=主对角线乘积进行计算

行列式的计算

行列式按行展开

余子式：把行列式中某一元素所在的行所在地列去掉，剩余的子集就叫余子式。余子式用M表示，M的下标i j 分别代表该元素所在的行、列

代数余子式：与余子式相比，代数余子式多了符号(-1)的行、列次方相加

余子式、代数余子式

D =

定理(异乘变零)：某行元素与另一行元素的代数余子式乘积之和等于零

拉普拉斯定理

k阶子式：行列式中取n行n列所得交叉部分的元素组成的行列式

余子式：行列式中去除k阶子式剩余的子集行列式

代数余子式：(-1)的行列次方相加乘以余子式

k阶子式

拉普拉斯定理：取定k行，由k行元素组成的所有k阶子式与代数余子式乘积之和=D

运用拉普拉斯定理求行列式的值

范德蒙德行列式

范德蒙德行列式计算方法

反对称行列式：1>主对角线全为0；2>上下位置对应成相反数

对称行列式：1>主对角线元素无要求；2>上下对应相等

反对称行列式、对称行列式的表示方法

宋浩老师讲到了克拉姆法则，计算量大，一般不用，这里也稍微提一下吧

克拉姆法则表示

定理：齐次线性方程组的方程个数等于未知数个数且D≠0时，未知数只有零解；

齐次线性方程的方程个数≠未知数个数且未知数有非零解时 D = 0

齐次线性方程组

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