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2018年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5.00 分）设 z= +2i，则|z|=（ ）

A．0 B． C．1 D．

2．（5.00 分）已知集合 A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁RA=（ ）

A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤

﹣1}∪{x|x≥2}

3．（5.00 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现

翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设

前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

则下面结论中不正确的是（ ）

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

4．（5.00 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3=S2+S4，a1=2，则 a5=（ ）

A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12

5．（5.00 分）设函数 f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f

（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）

A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x

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6．（5.00 分）在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 =（ ）

A． ﹣ B． ﹣ C． + D． +

7．（5.00 分）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点

M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在

此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（ ）

A．2 B．2 C．3 D．2

8．（5.00 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（﹣2，0）且斜率为 的直线

与 C 交于 M，N 两点，则 • =（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

9．（5.00 分）已知函数 f（x）= ，g（x）=f（x）+x+a．若 g（x）存在

2 个零点，则 a 的取值范围是（ ）

A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）

10．（5.00 分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三

个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边 BC，直角边AB，AC．△

ABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图

形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则（ ）

A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3

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11．（5.00 分）已知双曲线 C： ﹣y2=1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F

的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N．若△OMN 为直角三角形，则|MN|=

（ ）

A． B．3 C．2 D．4

12．（5.00 分）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 α 所成的角都相

等，则 α 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分。

13．（5.00 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值为 ．

14．（5.00 分）记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．若 Sn=2an+1，则 S6= ．

15．（5.00 分）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女

生入选，则不同的选法共有 种．（用数字填写答案）

16．（5.00 分）已知函数 f（x）=2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是 ．

三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求

作答。（一）必考题：共 60 分。

17．（12.00 分）在平面四边形 ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

（1）求 cos∠ADB；

（2）若 DC=2 ，求 BC．

18．（12.00 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以

DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF．

（1）证明：平面 PEF⊥平面 ABFD；

（2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．

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19．（12.00 分）设椭圆 C： +y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B

两点，点 M 的坐标为（2，0）．

（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；

（2）设 O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

20．（12.00 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用

户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这

箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检

验．设每件产品为不合格品的概率都为 p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格

品相互独立．

（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（p），求 f （p）的最大值点

p0．

（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 p0

作为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则

工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记

为 X，求 EX；

（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有

产品作检验？

21．（12.00 分）已知函数 f（x）= ﹣x+alnx．

（1）讨论 f（x）的单调性；

（2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证明： ＜a﹣2．

（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，

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则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10.00 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y=k|x|+2．以坐标原点

为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ﹣

3=0．

（1）求 C2 的直角坐标方程；

（2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程．

[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）

23．已知 f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．

（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）＞1 的解集；

（2）若 x∈（0，1）时不等式 f（x）＞x 成立，求 a 的取值范围．

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2018 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5.00 分）设 z= +2i，则|z|=（ ）

A．0 B． C．1 D．

【分析】利用复数的代数形式的混合运算化简后，然后求解复数的模．

【解答】解：z= +2i= +2i=﹣i+2i=i，

则|z|=1．

故选：C．

【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，复数的模的求法，考查计算能力．

2．（5.00 分）已知集合 A={x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁RA=（ ）

A．{x|﹣1＜x＜2} B．{x|﹣1≤x≤2} C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2} D．{x|x≤

﹣1}∪{x|x≥2}

【分析】通过求解不等式，得到集合 A，然后求解补集即可．

【解答】解：集合 A={x|x2﹣x﹣2＞0}，

可得 A={x|x＜﹣1 或 x＞2}，

则：∁RA={x|﹣1≤x≤2}．

故选：B．

【点评】本题考查不等式的解法，补集的运算，是基本知识的考查．

3．（5.00 分）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现

翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设

前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：

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则下面结论中不正确的是（ ）

A．新农村建设后，种植收入减少

B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上

C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍

D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半

【分析】设建设前经济收入为 a，建设后经济收入为 2a．通过选项逐一分析新农

村建设前后，经济收入情况，利用数据推出结果．

【解答】解：设建设前经济收入为 a，建设后经济收入为 2a．

A 项，种植收入 37%×2a﹣60%a=14%a＞0，

故建设后，种植收入增加，故 A 项错误．

B 项，建设后，其他收入为 5%×2a=10%a，

建设前，其他收入为 4%a，

故 10%a÷4%a=2.5＞2，

故 B 项正确．

C 项，建设后，养殖收入为 30%×2a=60%a，

建设前，养殖收入为 30%a，

故 60%a÷30%a=2，

故 C 项正确．

D 项，建设后，养殖收入与第三产业收入总和为

（30%+28%）×2a=58%×2a，

经济收入为 2a，

故（58%×2a）÷2a=58%＞50%，

故 D 项正确．

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因为是选择不正确的一项，

故选：A．

【点评】本题主要考查事件与概率，概率的应用，命题的真假的判断，考查发现

问题解决问题的能力．

4．（5.00 分）记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．若 3S3=S2+S4，a1=2，则 a5=（ ）

A．﹣12 B．﹣10 C．10 D．12

【分析】利用等差数列的通项公式和前 n 项和公式列出方程，能求出 a5 的值．

【解答】解：∵Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，3S3=S2+S4，a1=2，

∴ =a1+a1+d+4a1+ d，

把 a1=2，代入得 d=﹣3

∴a5=2+4×（﹣3）=﹣10．

故选：B．

【点评】本题考查等差数列的第五项的求法，考查等差数列的性质等基础知识，

考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．

5．（5.00 分）设函数 f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax．若 f（x）为奇函数，则曲线 y=f

（x）在点（0，0）处的切线方程为（ ）

A．y=﹣2x B．y=﹣x C．y=2x D．y=x

【分析】利用函数的奇偶性求出 a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解

切线方程．

【解答】解：函数 f（x）=x3+（a﹣1）x2+ax，若 f（x）为奇函数，

可得 a=1，所以函数 f（x）=x3+x，可得 f′（x）=3x2+1，

曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，

则曲线 y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x．

故选：D．

【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力．

6．（5.00 分）在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，则 =（ ）

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A． ﹣ B． ﹣ C． + D． +

【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．

【解答】解：在△ABC 中，AD 为 BC 边上的中线，E 为 AD 的中点，

= ﹣ = ﹣

= ﹣ × （ + ）

= ﹣ ，

故选：A．

【点评】本题考查向量的加减运算和向量中点表示，考查运算能力，属于基础题．

7．（5.00 分）某圆柱的高为 2，底面周长为 16，其三视图如图．圆柱表面上的点

M 在正视图上的对应点为 A，圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在

此圆柱侧面上，从 M 到 N 的路径中，最短路径的长度为（ ）

A．2 B．2 C．3 D．2

【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用侧面展开图，转化求解即可．

【解答】解：由题意可知几何体是圆柱，底面周长 16，高为：2，

直观图以及侧面展开图如图：

圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B，则在此圆柱侧面上，从 M 到 N 的

路径中，最短路径的长度： =2 ．

故选：B．

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【点评】本题考查三视图与几何体的直观图的关系，侧面展开图的应用，考查计

算能力．

8．（5.00 分）设抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F，过点（﹣2，0）且斜率为 的直线

与 C 交于 M，N 两点，则 • =（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【分析】求出抛物线的焦点坐标，直线方程，求出 M、N 的坐标，然后求解向量

的数量积即可．

【解答】解：抛物线 C：y2=4x 的焦点为 F（1，0），过点（﹣2，0）且斜率为 的

直线为：3y=2x+4，

联立直线与抛物线 C：y2=4x，消去 x 可得：y2﹣6y+8=0，

解得 y1=2，y2=4，不妨 M（1，2），N（4，4）， ， ．

则 • =（0，2）•（3，4）=8．

故选：D．

【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，向量的数量积的应用，考查计算能

力．

9．（5.00 分）已知函数 f（x）= ，g（x）=f（x）+x+a．若 g（x）存在

2 个零点，则 a 的取值范围是（ ）

A．[﹣1，0） B．[0，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[1，+∞）

【分析】由 g（x）=0 得 f（x）=﹣x﹣a，分别作出两个函数的图象，根据图象交

点个数与函数零点之间的关系进行转化求解即可．

【解答】解：由 g（x）=0 得 f（x）=﹣x﹣a，

作出函数 f（x）和 y=﹣x﹣a 的图象如图：

当直线 y=﹣x﹣a 的截距﹣a≤1，即 a≥﹣1 时，两个函数的图象都有 2 个交点，

即函数 g（x）存在 2 个零点，

故实数 a 的取值范围是[﹣1，+∞），

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故选：C．

【点评】本题主要考查分段函数的应用，利用函数与零点之间的关系转化为两个

函数的图象的交点问题是解决本题的关键．

10．（5.00 分）如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三

个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边 BC，直角边AB，AC．△

ABC 的三边所围成的区域记为 I，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ．在整个图

形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为 p1，p2，p3，则（ ）

A．p1=p2 B．p1=p3 C．p2=p3 D．p1=p2+p3

【分析】如图：设 BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3，分别求出Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ所对应的面积，

即可得到答案．

【解答】解：如图：设 BC=2r1，AB=2r2，AC=2r3，

∴r12=r22+r32，

∴SⅠ= ×4r2r3=2r2r3，SⅢ= ×πr12﹣2r2r3，

SⅡ= ×πr32+ ×πr22﹣SⅢ= ×πr32+ ×πr22﹣ ×πr12+2r2r3=2r2r3，

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∴SⅠ=SⅡ，

∴P1=P2，

故选：A．

【点评】本题考查了几何概型的概率问题，关键是求出对应的面积，属于基础题．

11．（5.00 分）已知双曲线 C： ﹣y2=1，O 为坐标原点，F 为 C 的右焦点，过 F

的直线与 C 的两条渐近线的交点分别为 M，N．若△OMN 为直角三角形，则|MN|=

（ ）

A． B．3 C．2 D．4

【分析】求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出 MN 的坐标，然后求解

|MN|．

【解答】解：双曲线 C： ﹣y2=1 的渐近线方程为：y= ，渐近线的夹角

为：60°，不妨设过 F（2，0）的直线为：y= ，

则： 解得 M（ ， ），

解得：N（ ），

则|MN|= =3．

故选：B．

【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．

12．（5.00 分）已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 α 所成的角都相

等，则 α 截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）

A． B． C． D．

【分析】利用正方体棱的关系，判断平面 α 所成的角都相等的位置，然后求解 α

截此正方体所得截面面积的最大值．

【解答】解：正方体的所有棱中，实际上是 3 组平行的棱，每条棱所在直线与平

面 α 所成的角都相等，如图：所示的正六边形平行的平面，并且正六边形时，α

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截此正方体所得截面面积的最大，

此时正六边形的边长 ，

α 截此正方体所得截面最大值为：6× = ．

故选：A．

【点评】本题考查直线与平面所成角的大小关系，考查空间想象能力以及计算能

力，有一定的难度．

二、填空题：本题共 4小题，每小题 5 分，共 20分。

13．（5.00 分）若 x，y 满足约束条件 ，则 z=3x+2y 的最大值为 6 ．

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义进行求解即可．

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：

由 z=3x+2y 得 y=﹣ x+ z，

平移直线 y=﹣ x+ z，

由图象知当直线 y=﹣ x+ z 经过点 A（2，0）时，直线的截距最大，此时 z 最

大，

最大值为 z=3×2=6，

故答案为：6

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【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义以及数形结合

是解决本题的关键．

14．（5.00 分）记 Sn 为数列{an}的前 n 项和．若 Sn=2an+1，则 S6= ﹣63 ．

【分析】先根据数列的递推公式可得{an}是以﹣1 为首项，以 2 为公比的等比数

列，再根据求和公式计算即可．

【解答】解：Sn 为数列{an}的前 n 项和，Sn=2an+1，①

当 n=1 时，a1=2a1+1，解得 a1=﹣1，

当 n≥2 时，Sn﹣1=2an﹣1+1，②，

由①﹣②可得 an=2an﹣2an﹣1，

∴an=2an﹣1，

∴{an}是以﹣1 为首项，以 2 为公比的等比数列，

∴S6= =﹣63，

故答案为：﹣63

【点评】本题考查了数列的递推公式和等比数列的求和公式，属于基础题．

15．（5.00 分）从 2 位女生，4 位男生中选 3 人参加科技比赛，且至少有 1 位女

生入选，则不同的选法共有 16 种．（用数字填写答案）

第 15 页（共 25 页）

【分析】方法一：直接法，分类即可求出，

方法二：间接法，先求出没有限制的种数，再排除全是男生的种数．

【解答】解：方法一：直接法，1 女 2 男，有 C21C42=12，2 女 1 男，有 C22C41=4

根据分类计数原理可得，共有 12+4=16 种，

方法二，间接法：C63﹣C43=20﹣4=16 种，

故答案为：16

【点评】本题考查了分类计数原理，属于基础题

16．（5.00 分）已知函数 f（x）=2sinx+sin2x，则 f（x）的最小值是 ．

【分析】由题意可得 T=2π 是 f（x）的一个周期，问题转化为 f（x）在[0，2π）

上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得．

【解答】解：由题意可得 T=2π 是 f（x）=2sinx+sin2x 的一个周期，

故只需考虑 f（x）=2sinx+sin2x 在[0，2π）上的值域，

先来求该函数在[0，2π）上的极值点，

求导数可得 f′（x）=2cosx+2cos2x

=2cosx+2（2cos2x﹣1）=2（2cosx﹣1）（cosx+1），

令 f′（x）=0 可解得 cosx= 或 cosx=﹣1，

可得此时 x= ，π 或 ；

∴y=2sinx+sin2x 的最小值只能在点 x= ，π 或 和边界点 x=0 中取到，

计算可得 f（ ）= ，f（π）=0，f（ ）=﹣ ，f（0）=0，

∴函数的最小值为﹣ ，

故答案为： ．

【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题．

三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17～21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求

作答。（一）必考题：共 60 分。

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17．（12.00 分）在平面四边形 ABCD 中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

（1）求 cos∠ADB；

（2）若 DC=2 ，求 BC．

【分析】（1）由正弦定理得 = ，求出 sin∠ADB= ，由此能求

出 cos∠ADB；

（2）由∠ADC=90°，得 cos∠BDC=sin∠ADB= ，再由 DC=2 ，利用余弦定理

能求出 BC．

【解答】解：（1）∵∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5．

∴由正弦定理得： = ，即 = ，

∴sin∠ADB= = ，

∵AB＜BD，∴∠ADB＜∠A，

∴cos∠ADB= = ．

（2）∵∠ADC=90°，∴cos∠BDC=sin∠ADB= ，

∵DC=2 ，

∴BC=

= =5．

【点评】本题考查三角函数中角的余弦值、线段长的求法，考查正弦定理、余弦

定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

18．（12.00 分）如图，四边形 ABCD 为正方形，E，F 分别为 AD，BC 的中点，以

DF 为折痕把△DFC 折起，使点 C 到达点 P 的位置，且 PF⊥BF．

第 17 页（共 25 页）

（1）证明：平面 PEF⊥平面 ABFD；

（2）求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值．

【分析】（1）利用正方形的性质可得 BF 垂直于面 PEF，然后利用平面与平面垂

直的判断定理证明即可．

（2）利用等体积法可求出点 P 到面 ABCD 的距离，进而求出线面角．

【解答】（1）证明：由题意，点 E、F 分别是 AD、BC 的中点，

则 ， ，

由于四边形 ABCD 为正方形，所以 EF⊥BC．

由于 PF⊥BF，EF∩PF=F，则 BF⊥平面 PEF．

又因为 BF⊂平面 ABFD，所以：平面 PEF⊥平面 ABFD．

（2）在平面 DEF 中，过 P 作 PH⊥EF 于点 H，联结 DH，

由于 EF 为面 ABCD 和面 PEF 的交线，PH⊥EF，

则 PH⊥面 ABFD，故 PH⊥DH．

在三棱锥 P﹣DEF 中，可以利用等体积法求 PH，

因为 DE∥BF 且 PF⊥BF，

所以 PF⊥DE，

又因为△PDF≌△CDF，

所以∠FPD=∠FCD=90°，

所以 PF⊥PD，

由于 DE∩PD=D，则 PF⊥平面 PDE，

故 VF﹣PDE= ，

因为 BF∥DA 且 BF⊥面 PEF，

所以 DA⊥面 PEF，

所以 DE⊥EP．

第 18 页（共 25 页）

设正方形边长为 2a，则 PD=2a，DE=a

在△PDE 中， ，

所以 ，

故 VF﹣PDE= ，

又因为 ，

所以 PH= = ，

所以在△PHD 中，sin∠PDH= = ，

即∠PDH 为 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为： ．

【点评】本题主要考查点、直线、平面的位置关系．直线与平面所成角的求法．几

何法的应用，考查转化思想以及计算能力．

19．（12.00 分）设椭圆 C： +y2=1 的右焦点为 F，过 F 的直线 l 与 C 交于 A，B

两点，点 M 的坐标为（2，0）．

（1）当 l 与 x 轴垂直时，求直线 AM 的方程；

（2）设 O 为坐标原点，证明：∠OMA=∠OMB．

【分析】（1）先得到 F 的坐标，再求出点 A 的方程，根据两点式可得直线方程，

（2）分三种情况讨论，根据直线斜率的问题，以及韦达定理，即可证明．

【解答】解：（1）c= =1，

∴F（1，0），

∵l 与 x 轴垂直，

∴x=1，

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由 ，解得 或 ，

∴A（1. ），或（1，﹣ ），

∴直线 AM 的方程为 y=﹣ x+ ，y= x﹣ ，

证明：（2）当 l 与 x 轴重合时，∠OMA=∠OMB=0°，

当 l 与 x 轴垂直时，OM 为 AB 的垂直平分线，∴∠OMA=∠OMB，

当 l 与 x 轴不重合也不垂直时，设 l 的方程为 y=k（x﹣1），k≠0，

A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1＜ ，x2＜ ，

直线 MA，MB 的斜率之和为 kMA，kMB 之和为 kMA+kMB= + ，

由 y1=kx1﹣k，y2=kx2﹣k 得 kMA+kMB= ，

将 y=k（x﹣1）代入 +y2=1 可得（2k2+1）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，

∴x1+x2= ，x1x2= ，

∴2kx1x2﹣3k（x1+x2）+4k= （4k3﹣4k﹣12k3+8k3+4k）=0

从而 kMA+kMB=0，

故 MA，MB 的倾斜角互补，

∴∠OMA=∠OMB，

综上∠OMA=∠OMB．

【点评】本题考查了直线和椭圆的位置关系，以韦达定理，考查了运算能力和转

化能力，属于中档题．

20．（12.00 分）某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用

户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这

箱产品中任取 20 件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检

验．设每件产品为不合格品的概率都为 p（0＜p＜1），且各件产品是否为不合格

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品相互独立．

（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（p），求 f （p）的最大值点

p0．

（2）现对一箱产品检验了 20 件，结果恰有 2 件不合格品，以（1）中确定的 p0

作为 p 的值．已知每件产品的检验费用为 2 元，若有不合格品进入用户手中，则

工厂要对每件不合格品支付 25 元的赔偿费用．

（i）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记

为 X，求 EX；

（ⅱ）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有

产品作检验？

【 分 析 】 （ 1 ） 求 出 f （ p ） = ， 则

= ，利用导数性质

能求出 f （p）的最大值点 p0=0.1．

（2）（i）由 p=0.1，令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数，依题意知 Y～B

（180，0.1），再由 X=20×2+25Y，即 X=40+25Y，能求出 E（X）．

（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元，E（X）

=490＞400，从而应该对余下的产品进行检验．

【解答】解：（1）记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f（p），

则 f（p）= ，

∴ = ，

令 f′（p）=0，得 p=0.1，

当 p∈（0，0.1）时，f′（p）＞0，

当 p∈（0.1，1）时，f′（p）＜0，

∴f （p）的最大值点 p0=0.1．

（2）（i）由（1）知 p=0.1，

令 Y 表示余下的 180 件产品中的不合格品数，依题意知 Y～B（180，0.1），

X=20×2+25Y，即 X=40+25Y，

∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+25×180×0.1=490．

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（ii）如果对余下的产品作检验，由这一箱产品所需要的检验费为 400 元，

∵E（X）=490＞400，

∴应该对余下的产品进行检验．

【点评】本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，

考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知

识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．

21．（12.00 分）已知函数 f（x）= ﹣x+alnx．

（1）讨论 f（x）的单调性；

（2）若 f（x）存在两个极值点 x1，x2，证明： ＜a﹣2．

【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行

求解即可．

（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到

结论．

【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+∞），

函数的导数 f′（x）=﹣ ﹣1+ =﹣ ，

设 g（x）=x2﹣ax+1，

当 a≤0 时，g（x）＞0 恒成立，即 f′（x）＜0 恒成立，此时函数 f（x）在（0，+

∞）上是减函数，

当 a＞0 时，判别式△=a2﹣4，

①当 0＜a≤2 时，△≤0，即 g（x）＞0，即 f′（x）＜0 恒成立，此时函数 f（x）

在（0，+∞）上是减函数，

②当 a＞2 时，x，f′（x），f（x）的变化如下表：

x （0，

）

（ ，

）

（ ，

+∞）

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f′（x） ﹣ 0 + 0 ﹣

f（x） 递减 递增 递减

综上当 a≤2 时，f（x）在（0，+∞）上是减函数，

当 a＞2 时，在（0， ），和（ ，+∞）上是减函数，

则（ ， ）上是增函数．

（2）由（1）知 a＞2，0＜x1＜1＜x2，x1x2=1，

则 f（x1）﹣f（x2）=（x2﹣x1）（1+ ）+a（lnx1﹣lnx2）=2（x2﹣x1）+a（lnx1

﹣lnx2），

则 =﹣2+ ，

则问题转为证明 ＜1 即可，

即证明 lnx1﹣lnx2＞x1﹣x2，

则 lnx1﹣ln ＞x1﹣ ，

即 lnx1+lnx1＞x1﹣ ，

即证 2lnx1＞x1﹣ 在（0，1）上恒成立，

设 h（x）=2lnx﹣x+ ，（0＜x＜1），其中 h（1）=0，

求导得 h′（x）= ﹣1﹣ =﹣ =﹣ ＜0，

则 h（x）在（0，1）上单调递减，

∴h（x）＞h（1），即 2lnx﹣x+ ＞0，

故 2lnx＞x﹣ ，

则 ＜a﹣2 成立．

【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数

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的导数，利用导数的应用是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，

则按所做的第一题计分。[选修 4-4：坐标系与参数方程]（10分）

22．（10.00 分）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y=k|x|+2．以坐标原点

为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ﹣

3=0．

（1）求 C2 的直角坐标方程；

（2）若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程．

【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行

转化．

（2）利用直线在坐标系中的位置，再利用点到直线的距离公式的应用求出结果．

【解答】解：（1）曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2+2ρcosθ﹣3=0．

转换为直角坐标方程为：x2+y2+2x﹣3=0，

转换为标准式为：（x+1）2+y2=4．

（2）由于曲线 C1 的方程为 y=k|x|+2，则：该直线关于 y 轴对称，且恒过定点（0，

2）．

由于该直线与曲线 C2 的极坐标有且仅有三个公共点．

所以：必有一直线相切，一直线相交．

则：圆心到直线 y=kx+2 的距离等于半径 2．

故： ，或

解得：k= 或 0，（0 舍去）或 k= 或 0

经检验，直线 与曲线 C2 没有公共点．

故 C1 的方程为： ．

【点评】本体考察知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，直

线和曲线的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用．

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[选修 4-5：不等式选讲]（10 分）

23．已知 f（x）=|x+1|﹣|ax﹣1|．

（1）当 a=1 时，求不等式 f（x）＞1 的解集；

（2）若 x∈（0，1）时不等式 f（x）＞x 成立，求 a 的取值范围．

【分析】（1）去绝对值，化为分段函数，即可求出不等式的解集，

（2）当 x∈（0，1）时不等式 f（x）＞x 成立，转化为即|ax﹣1|＜1，即 0＜ax

＜2，转化为 a＜ ，且 a＞0，即可求出 a 的范围．

【解答】解：（1）当 a=1 时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣1|= ，

由 f（x）＞1，

∴ 或 ，

解得 x＞ ，

故不等式 f（x）＞1 的解集为（ ，+∞），

（2）当 x∈（0，1）时不等式 f（x）＞x 成立，

∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x＞0，

即 x+1﹣|ax﹣1|﹣x＞0，

即|ax﹣1|＜1，

∴﹣1＜ax﹣1＜1，

∴0＜ax＜2，

∵x∈（0，1），

∴a＞0，

∴0＜x＜ ，

∴a＜

∵ ＞2，

∴0＜a≤2，

故 a 的取值范围为（0，2]．

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【点评】本题考查了绝对值不等式的解法和含参数的取值范围，考查了运算能力

和转化能力，属于中档题．