一道三角不等式的证明

题目：已知正实数a,b,c满足a+b+c=π/2，证明下列不等式，

证法1： 在证明之前要回顾一下余弦函数的曲线，

对于y=cos(x)很容易看成在x∈(0,π/2)区间是单调递减的。

cos(a)=cos(π/2−b−c)=sin(b+c)=sin(b)cos(c)+sin(c)cos(b),

类似带有对于cos(b)和cos(c)也有这样的等式， 即：

cos(b)=cos(π/2−a−c)=sin(a+c)=sin(a)cos(c)+sin(c)cos(a),

cos(c)=cos(π/2−a−b)=sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a),

将三个式子相加：

cos(a)+cos(b)+cos(c)=sin(a)[cos(b)+cos(c)]

+sin(b)[cos(c)+cos(a)]

+sin(c)[cos(a)+cos(b)].

让我们关注一项，例如, sin(a)[cos(b)+cos(c)]:

由于a>0, b+c<π/2 , 因此,(b+c)/2<π/4

在开始我们谈到函数y=cos(x) 在区间(0,π/2)是单调递减， 这样有：

对于另一个因式，也有：

将上面的两个不等式带入， 则有：

同理对于sin(b)[cos(c)+cos(a)]有：

还有sin(c)[cos(a)+cos(b)]也满足：

将上述的三个不等式相加就有：

证法2：

观察到, a+b<π/2，也就是a<π/2−b, 由于y=cos(x)在区间(0,π/2)是单调递减的

cos(a)>cos(π/2−b)=sin(b).

即：cos(a)>sin(b).

同样的道理：

cos(b)>sin(c)

和：

cos(c)>sin(a)

将上面的三个不等式相加就得出：

证法3：这个证明仍然会用到余弦函数y=cos(x)在区间(0,π/2)是单调递减的这一个性质。

应为a<a+b<π/2

所以

cos(a)>cos(a+b)=cos(π/2-c)=sin(c).

即：cos(a)>sin(c).

同理,cos(b)>sin(a)

和：cos(c)>sin(b)，

将三个式子相加即的：