一．概念描述

现代数学：设随机事件A在n次试验中发生了nA次，则称nA是A在n次试验中发生的频数，称比值nA/n为在这n次试验中发生的频率，记作f(A)=nA/n。

当重复试验的次数n逐渐增大时，频率呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数，这个常数就是事件A的概率。

小学数学：小学数学教材中没有出现频率的概念，但是在可能性的学习中通过一些试验让学生感受数据的随机性并初步感受当试验次数趋于无穷大时，频率将趋于一个稳定的值，这个稳定的值就是概率。

二．概念解读

频率和概率之间有着密切的联系，但又是不完全相同的两个概念，通过大量重复试验可以用频率估计概率。在小学关于概率的学习主要是通过可能性的知识展开，并且从定性和定量两个角度刻画概率。虽然课程标准和教材没有将频率作为必须学习的内容，然而却有一些实践性的操作活动渗透着频率的知识。例如，课堂上老师经常让学生做抛硬币的试验，下面以两个掷硬币的例子说明这一点。

掷两枚均匀的硬币，两枚硬币国徽面都朝上的可能性是1/4=0.25。如果让每人都掷10次，从实际情况看会出现各种情况，如果单看每个同学的情况很难检测出概率是0.25，但是如果将全班汇总起来可以看到规律会越来越清晰，即接近0. 25。

另外很多数学家也做过投掷硬币，用频率检测概率的试验。例如，抛一枚硬币从理论上可以认定国徽朝上或者朝下的概率各为1/2。下面是一些曾经实际进行过的试验数据：

从上面的试验结果可以看出，当投掷硬币次数逐渐增大时，频率确实总在0.5左右摆动，而且逐渐稳定于0.5。这些试验表明，利用频率刻画概率是合适的。

三．教学建议

(1)通过具体实验初步感受频率

在小学阶段，关于对频率的认识主要是在有关可能性的学习中通过一些试验初步感受的。特别是在学习过程中，很多老师都会让学生做试验来体会概率，其实做实验的主要目的不是通过试验得到概率而是利用频率检测概率。华应龙老师曾经做过很好的尝试。在课堂上创设了如下的情境：父亲和儿子决定谁去看奥运会男篮决赛。但是，与过去教学不同，使用决定是否去的工具并不是硬币，而是啤酒瓶盖。老师让学生讨论用啤酒瓶盖解决这个问题是否公平？有的学生认为是靠命运决定的，因为儿子的机遇是1/2，爸爸的机遇也是1/2，所以公平。也有的学生持反对意见认为瓶子盖的反面那一圈是折起来的，这一面的重量会比正面的重量大，所以反面朝上的可能性比较大。然后教师提出：经过刚才的讨论，用抛啤酒瓶盖的办法来决定谁去看比赛，究竟公平不公平呢？答案不一致。怎么办呢？学生立刻提出做个试验试试吧。此时，学生对于试验验证有了充分的渴求，试验也就变得更加有意义了。

(2)合理选取操作工具

很多老师在课堂上习惯用硬币作为试验操作的学具，因为硬币在日常生活中十分常见。而华应龙老师的课堂教学中却是让学生做“抛瓶盖”的试验。那么，“抛瓶盖”和“抛硬币”有什么不同呢？我们知道，如果运用的是硬币，由于掷一枚均匀硬币，硬币落下时有两种可能：正面朝上和反面朝上，并且两种结果是等可能的，所以这是一个古典概率的问题。对古典概率的问题，我们可以用公式计算出某种结果发生的概率，虽然小学不正式学这个公式，但通过经验并加以分析，学生容易得到正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。此时再让学生做实验，学生不仅产生不了愿望，并且往往会由于频率与概率的不一致而产生困惑。瓶盖虽然落下时也有两种可能，但二者不是等可能的，不符合古典概率的要求，这时我们可以通过做实验，运用频率去估计概率的大小，从而对正面朝上和反面朝上的可能性进行比较。这不仅使试验变得很有必要，并且能够帮助学生澄清一些误解。学生亲自经历了实验的过程，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较，修正了自己的猜测。进一步，华老师又利用了形象的比喻“踢毽于”帮助学生分析为什么“反面”朝上的可能性大。至此，华老师引导学生们完整经历了：首先猜测结果发生的可能性大小；然后亲自动手进行实验，收集实验数据，分析实验结果，并将所得结果与自己的猜测进行比较；最后进行理性分析，并与实验结果联系起来。

四．推荐阅读

(1)《小学数学教学策略》（张丹，北京师范大学出版社，2010）

该书的第四章对小学数学统计知识进行了比较系统的介绍。

(2)《小学数学研究》（张奠宙等，高等教育出版社，2009）

该书第235-236页论述了频率与概率之间存在的联系和区别；第209-211页论述了概率的统计定义，其本质是利用频率验证概率的科学性问题。

O%Zp�