文|青萝

编辑|青萝

引言

提出了一种改进的基于债券的Peridynamics模型，用于模拟均匀弹性脆性材料的破坏模式，传统模型无法反映岩石在加载下的应变硬化和随后的应变软化特性。

岩石材料在拉伸和压缩阶段的断裂机制完全不同，为了解决这些问题，本文在之前的改进模型基础上，使用不同的断裂准则来处理债券在拉伸和压缩阶段的断裂，并引入符合Weibull分布的临界破坏条件来反映岩石的异质性。

通过模拟完整岩石试样、带有单一预存在缺陷的岩石试样以及在压缩加载下的带有两个和三个预存在缺陷的岩石试样的裂纹传播过程，与先前实验室试验结果进行比较，验证了该模型的可行性。

研究了翼裂纹传播长度对岩石桥倾角和长度的影响，模拟了在不同的岩石桥倾角下裂纹聚合模式的变化，发现了八种裂缝聚合模式，并分析了可能发生它们的条件。

基于债券的Peridynamics模型及改进

所提出的改进模型能够有效地模拟裂纹的传播和合并过程，并在岩石断裂模拟方面具有广泛的应用前景，岩石是一种非均质且不连续的材料，包含许多不同大小和方向的主裂缝，经历了复杂的地质构造过程，岩石中的裂缝可能导致隧道崩塌、水坝开裂、建筑物倾覆和其他工程事故。

研究岩石中裂缝的发生、扩展和合并对于预防和控制自然灾害具有重要意义，已经进行了几项关于岩石试样中单个预有缺陷的传播过程的物理测试 ，以及多个预有缺陷的试样，这些缺陷具有不同的长度和倾角。

研究岩石断裂仍然存在一些困难： 要获得全面理想的结果，需要进行多组平行实验，这需要相当大的时间和成本， 岩石材料的局部断裂发生在很短的时间内，因此很难清楚完整地获取动态断裂特性参数，如裂缝扩展长度和裂缝合并时间。

基于连续介质力学的常见数值方法包括有限元法、有限差分法 、边界元法[15]、扩展有限元法，FEM 和 FDM 的控制方程式是由连续介质力学导出的，而裂缝尖端的应力场在数学上是奇异的。

FEM 在模拟裂缝扩展时需要重新划分网格，BEM 也存在边界变量奇异性的问题，XFEM 可以通过引入局部加强函数来模拟裂缝的扩展，XFEM 在模拟具有复杂形态的多裂缝扩展时存在困难 。

无网格方法消除了网格依赖性，大致分为两类：基于拉格朗日方法的粒子方法，如光滑粒子流体动力学 ，和基于欧拉方法的无网格方法，如无元素有限元，与XFEM相比，MLM 改善了插值的连续性。

由于形函数不满足Kronecker δ函数的性质，MLM 很难应用必要的边界条件 ，其他MLM，如无网格局部Petrov-Galerkin、单位分割法等，在计算时间和效率方面也存在各自的局限性。

常见的非连续数值方法包括不连续变形分析、数值流形方法和离散元法，DDA预测裂纹扩展模式仍然受到网格划分的限制，在NMM计算中，裂纹无法扩展到元素的内部，在DEM计算过程中，一些参数如摩擦系数和刚度比没有明确的物理意义，需要校准，这可能对结果的准确性产生很大影响。

Peridynamics理论和相应的数值方法，以在统一的数学框架下模拟固体结构中裂纹的起始、扩展、分叉和合并的演变过程，与涉及位移分量导数的经典连续介质力学不同，PD是一种非局部连续介质力学理论，它将固体离散为一系列包含空间域内所有物理特性信息的材料点。

基于积分方程，它避免了空间导数不存在或不唯一的问题，积分方程的特性允许损伤在固体材料的多个部分中启动并沿着任意路径传播，而无需特定的裂纹扩展准则。

PD克服了裂尖奇异性、对外部断裂准则的需求、不能模拟裂纹起始和较强的网格依赖性等缺点，它被广泛用于模拟混凝土、玻璃、膜和纤维以及其他复合材料，等各种材料的不连续变形。

基于债券的Peridynamics模型已被证明在模拟带，有不同长度和角度的多个预存在缺陷的岩石材料在单轴拉伸和压缩载荷，下的宏观裂纹起始和扩展过程方面是有效的。

还提出了几个微观弹性-脆性塑性本构模型来考虑岩体的峰后阶段，以上研究往往假设岩石材料的性质是均匀的，更关注岩石断裂模式和应力-应变曲线的变化，缺乏关于岩石裂纹传播长度、裂纹分叉和合并等动态断裂现象的研究。

PD理论可以分为BB-PD、普通状态基PD和非普通状态基PD，这三种理论已被证明对模拟岩石的裂纹传播过程是有效的，尽管BB-PD理论存在固定泊松比的局限性，但它的参数较少，其本构模型比其他两种理论更易于理解。

根据岩石材料的应变硬化和应变软化特性，方便改进本构力函数的形式，BB-PD方法采用了微观弹性脆性模型，该模型指出任意两个材料点之间的力是相等的，但方向相反。

这些点被构想成由弹簧连接，并且力是线性的，当债券伸长超过临界值时，力会突然消失，对于岩石材料来说，应力在达到峰值强度后并不会突然消失，岩石变形具有先应变硬化再应变软化的特点，这在压缩加载下尤为明显，传统的微观弹性脆性模型无法反映这些特性。

岩石断裂特性及裂纹扩展

回顾了以往BB-PD模型特性的基础上，对传统的微弹脆模型进行了改进，提出了符合岩石材料力学特性的微弹塑性本构模型，并引入Weibull分布函数来反映岩石的异质性。

该模型用于模拟含有一、两个和三个预有缺陷的岩石试样的裂缝扩展过程，并通过与实验室测试结果的比较验证了该模型的有效性，在此基础上，进行了一系列数值实验，以模拟在单轴压缩下含有不同数量和倾角预有缺陷的岩石试样的裂缝扩展模式。

研究裂缝的发生和扩展特性，并揭示裂缝扩展长度和裂缝合并模式之间的差异，预期这些结果将丰富PD理论的内容，并促进PD方法在岩石材料断裂模拟中的应用。

PD理论假设在时间t，物体中的粒子x通过成对力函数f与其周围区域Hx内的其他粒子x'相互作用，其中，f的定义如下：

ξ和η分别为x和x'点的相对位置向量和相对位移向量，PMB模型适用于模拟弹性脆性材料的破坏特性，对于后续的本构模型改进思路，是通过改变力函数和债券伸长之间的数学关系来考虑材料的塑性特性。

使用不同的函数来反映材料峰值后的残余强度，这些模型也有各自的局限性，债券的本构模型变化仅在拉伸阶段考虑，当材料受到外部载荷时，材料点之间的债券可能会延长或缩短，这与外部载荷是压缩性还是拉伸性没有绝对的关联。

由于岩石在压缩载荷下具有明显的弹塑性特性，在先前的BB-PD模型的压缩阶段中，本构力函数线性增加，或者函数线性增加到一个常数值，不能很好地反映岩石的塑性特性。

有必要在BB-PD模型的压缩阶段改进本构关系，岩石材料在压缩或拉伸过程中，首先表现出应变硬化的特性，然后进入应变软化阶段，当应力达到最大值时，材料不会立即失效。

应力会随着应变的增加逐渐下降，直到最终失效，然而传统的PMB模型无法反映这种特性，在前人的思路基础上，结合岩石材料拉伸和压缩曲线的特点，本文提出了改进的BB-PD本构模型。

岩石的拉伸强度明显低于压缩强度，在拉伸载荷下，应变硬化阶段不明显，当达到拉伸强度后，应力迅速下降到较低水平，本研究使用对数函数来改进键合拉伸阶段的本构模型。

成对力首先随着键伸长的增加而线性增加，当键伸长超过常数st时，成对力呈对数下降，在键的压缩阶段，成对力随着键伸长的增加而线性增加，当键伸长的绝对值超过常数sy时，成对力呈现二次函数曲线，对应于岩石在压缩载荷下的应变硬化和应变软化特性。

在改进的BB-PD本构模型中，sc代表键的极限压缩值，它与岩石的抗压强度fc相关，sc = -fc/E，sy与屈服强度fy相关，sy = -fy/E，st与拉伸强度ft相关，st = ft/E，s0代表键的极限拉伸伸长，它与断裂能量G0相关。

岩石的抗压强度和拉伸强度是根据实验室实验结果确定的，而断裂能量的值，在改进的BB-PD本构模型中，成对力值的变化趋势由材料点之间的键长控制，但其方向始终平行于键的方向，这与经典的BB-PD模型相同。

在改进的BB-PD模型中不考虑材料点之间的剪切力，在方程中，每个参数的表达式只能提供简单的理论参考值，当使用PD模型来模拟岩石断裂行为时，可以通过在实验室测试结果基础上进行反向分析方法对理论值进行修正。

最终可以获得一个在可接受范围内的临界伸长值，为了验证所提出的模型，对完整的岩石试样、带有单一预先存在缺陷的岩石试样以及带有两个和三个预先存在缺陷的岩石试样进行了二维数值模拟的单轴压缩试验。

通过与先前的实验室测试结果进行比较，验证了模型的可行性和适用性，由于岩石是典型的异质性材料，岩石中每个点的裂纹传播条件可能不同，为了表征岩石材料的异质性，使用Weibull分布函数来实现材料力学性能的随机化。

p代表满足每个粒子的分布参数值，p0称为尺度参数，而m称为形状参数，假设岩石材料每个点的临界伸长率s0遵循满足Weibull分布函数的分布，其中p0 = 0.0026，由于每个粒子的s0大小不一致，将影响每个点的力学性能。

为确保两个点之间的相互作用力相等，将临界伸长率s0取为相互作用点的平均值，并其断裂判定准则为 s ≥ (s0(i) + s0(j))/2，当p0 = 0.0026时Weibull分布函数的概率密度图，在不同均匀度程度下岩石试样的临界伸长率的随机分布。

无网格方法在岩石断裂模拟中的应用

当尺度参数是一个常数时，m值越小，临界伸长率的分布越离散；m值越大，临界伸长率越接近平均值，采用了提出的实验模型来验证改进的BB-PD本构模型是否能有效模拟完整岩石的开裂。

完整岩石试样的二维模型尺寸为50×100毫米，并采用平面应力法进行计算，显示了数值模型的材料和PD参数，8b-d展示了先前实验室实验和数值模拟的结果。

破坏模式为X形共轭剪切破坏，这是岩石材料最常见的破坏模式之一，经典BB-PD模型和改进BB-PD模型的模拟结果，图例中显示的局部损伤值是从方程计算得出的。

数值越接近1，损伤越严重，在后续描述裂纹传播路径的图中，图例的含义与图8c和图8d中相同，图中显示的X模式剪切裂缝不完全对称，这表明Weibull分布函数能更好地反映岩石裂纹传播的随机性。

通过对比发现，当经典BB-PD模型得到的X形裂纹向试样左右端延伸时，裂纹达到左右端的位置距离试样的上下端较远，而改进的BB-PD模型得到的X形裂纹在延伸到试样的左右端时，其位置更接近试样的上下端，这也更符合实验室实验的结果。

结论

经典BB-PD模型得到的裂纹传播结果对称性更明显，因为它的本构力函数增加是线性的，而改进的BB-PD模型的本构力函数是二次函数、初级函数和对数函数的组合，因此表现出更明显的异质性。

展示了岩石试样上的裂纹类型，蓝色线条代表不同类型的裂缝，预先存在的缺陷位于岩石的中心，两种类型的裂缝可能在预先存在缺陷的两端产生：翼裂纹和次级剪切裂纹。

翼裂纹是从预先存在缺陷的末端产生的拉伸裂纹，并以相对稳定的方式向岩石试样的最大压缩方向传播，次级剪切裂纹是由剪切产生的，通常与预先存在缺陷共面或准共面。

当翼裂纹最初传播一定距离后，由于存在其他预先存在的缺陷或裂缝，它可能会转向并近似横向扩展，本文将这种类型的裂缝称为横向裂纹，在岩石受剪切力作用下，还会从岩石的左侧或右侧产生远场裂纹，远离预先存在缺陷。