内容分析

几何中的最值问题变幻无穷,教学中如何引导学生在复杂条件变化中发现解决问题的路径,核心问题是训练学生在题目中寻找不变的已知元素,从这些已知的不变元素,运用"两点间线段最短"、"垂线段最短"、"点的运动轨迹""二次函数最值"等知识源,实现问题的转化与解决.

教学目标

知识溯源，从知识转化角度，借助中考真题的讲解，引导学生掌握处理最值问题的基本知识源，明确解决最值问题的思考方向。

命题特点

最值连续多年广泛出现于中考试题中，由冷点变为热点,求相关线段、线段之和差、面积等最大与最小值.此类问题涉及的知识要点有以下方面: ①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④ 定圆中的所有弦中，直径最长；⑤圆外一点与圆的最近点、最远点.⑥借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题.命题特点侧重于在动态环境下对多个知识点的综合考查.

核心方法

由于这类问题目标不明确，具有很强的探索性，解题时需要运用动态思维、数形结合、模型思想、特殊与一般相结合、转化思想和化归思想、分类讨论思想、函数和方程思想、从变化中寻找不变性的数学思想方法、逻辑推理与合情猜想相结合等思想方法．解这类试题关键是要结合题意，借助相关的概念、图形的性质，将最值问题化归与转化为相应的数学模型进行分析与突破。

教学过程

一、问题导入

我们所学的知识体系中，有哪些与最大值或最小值有关联的知识？

①两点间线段最短；②垂线段最短；③三角形的三边关系；④ 定圆中的所有弦中，直径最长；⑤圆外一点与圆的最近点、最远点.⑥借助转化为代数思想：一次函数反比例函数增减性、二次函数的最值问题.

我们把这些知识点称为求几何中最值的知识源.

二、典例讲解

类型1 添加常用辅助线，把问题转化为两点之间线段最短解决

1.（2019春•仪征市期中）如图，正方形ABCD边长为3，点E、F是对角线AC上的两个动点（点E在点F的左侧），且EF＝1，则DE+BF的最小值是_____ ．

【解析】如图，作DM∥AC，使得DM＝EF＝1，连接BM交AC于F，得到DM＝EF，DM∥EF，根据平行四边形的性质得到DE＝FM，求得DE+BF＝FM+FB＝BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，根据勾股定理可求得BM＝√19，所以DE+BF的最小值为√19．

类型2 利用轴对称求最短路线问题

此类利用轴对称求最短路线问题一般都以轴对称图形为题设背景,如圆、正方形、菱形、等腰梯形、平面直角坐标系等.首先根据题意画出草图，利用轴对称性找出对应线段之间的相等关系，从而把所求线段进行转化，画出取最小值时特殊位置，两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的是将军饮马模型问题

2.（2019春•温州期中）如图，在▱ABCD中，∠DAB＝45°，AB＝17，BC＝7，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是边BC、DC上的点，连结OE、OF、EF．则△OEF周长的最小值是 ______．

【解题策略】1.画图建模，画出取最小值时动点的位置，建立相关模型；2.学会转化，利用轴对称把线段之和转化在同一条直线上．

类型3 利用垂线段最短求线段最小值问题

3-1.（2019春•陆川县期中）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P为斜边AB上一动点，过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于点F，连结EF，则线段EF的最小值为（ ）

A．2.4 B．3.6 C．4.8 D．5

【解答】连接PC，∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°，

∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，

即当CP⊥AB时，PC最小，

∵AC＝8，BC＝6，∴AB＝10，∴PC的最小值为：AC·BC/AB＝4.8．

∴线段EF长的最小值为4.8．故选：C．

3-2. （2019•临颍县一模）如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E为AD边上的一个动点，∠BAD＝120°，菱形ABCD的周长为24，则OE的最小值等于（ ）

【解题策略】1.观察发现，分析总结运动变化过程中的不变元素及内在联系，2.画图转化，根据内在联系转化相关线段,应用"垂线段最短" 求出相关线段的最小值.

类型4三角形的三边关系-线段之差最大问题

4-1．（2019•东台市模拟）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为线段AC上一动点，连接BD，过点C作CH⊥BD于H，连接AH，则AH的最小值为 _____．

4-2．（2018秋•福州期末）如图，等边三角形ABC中，D是边BC上一点，过点C作AD的垂线段，垂足为点E，连接BE，若AB＝2，则BE的最小值是_______．

【解题策略】结合已知定长线段，利用三角形的三边关系，找出最大值时的特殊位置，线段之差最大问题.

类型5 圆的有关最值

5-1.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且始终满足∠BPC＝90°，则a的最大值是（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【解答】∵A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），

∴AB＝1﹣（1﹣a）＝a，CA＝a+1﹣1＝a，∴AB＝AC，

∵∠BPC＝90°，∴PA＝AB＝AC＝a，

如图延长AD交⊙D于P′，此时AP′最大，

∵A（1，0），D（4，4），∴AD＝5，∴AP′＝5+1＝6，∴a的最大值为6．故选：D．

【知识源】圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长.

【解题策略】1. 描述点的运动轨迹，找出特殊位置，化动为静；2. 综合题中已有条件，分析其中不变元素，恰当转化.

5-2.（2019•日照一模）如图，已知直线y＝3x/4 -3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连结PA、PB，则△PAB面积的最小值是（ ）

A．6 B．5.5 C．5 D．4.5

类型6 构建变量表达式，利用配方法求最值

6-1.（2019•泸县模拟）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AB上的点，且∠B＝∠ADE＝∠DAC，如果△ABC，△EBD，△ADC的周长分别记为m，m1，m2，则的最大值是_____．

6-2.（2019春•鹿城区校级月考）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝16cm，AD为BC边上的高，动点P从点A出发，沿A→D方向以cm/s的速度向点D运动，过P点作PE∥BC交AC于点E，过E点作EF⊥BC于点F，设△ABP的面积为S1，四边形PDFE的面积为S2，则点P在运动过程中，S1+S2的最大值为____

类型7 利用二次函数的性质求最值问题

7-1.（2019•合肥模拟）在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝9，点E为线段AD上一点，且DE＝2AE，点G是线段AB上的动点，EF⊥EG交BC所在直线于点F，连接GF．则GF的最小值是（ ）

A．3 B．6 C．6√2 D．3√5

【解答】如图，过点F作FM⊥AD于M，

∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠EMF＝90°，MF＝AB＝6，

∵EF⊥GE，∴∠AGE+∠AEG＝90°，∠AEG+∠MEF＝90°，∴∠AGE＝∠MEF，

7-2．（2019•宁德一模）如图，已知正方形ABCD中，点E是BC上的一个动点，EF⊥AE交CD于点F，以AE，EF为边作矩形AEFG，若AB＝4，则点G到AD距离的最大值是______．

【解题策略】

此类问题中，无法通过轴对称或画草图得出何时所求线段或面积的最值，可以通过设相应点的坐标，运用函数思想，建立函数模型，最终通过二次函数的最值原理求出相应的最值.

1.树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度；2.运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质理求出相应的最值.

类型8 觅动点轨迹，确定最值

8-1.（2019•宝安区二模）如图，正方形ABCD中，BC＝6，点E为BC的中点，点P为边CD上一动点，连接AP，过点P作AP的垂线交BC于点M，N为线段AP上一点，且PN＝PM，连接MN，取MN的中点H，连接EH，则EH的最小值是_____ ．

8-2．（2019•天宁区校级模拟）如图，BC＝3，⊙B的半径为1，A为⊙B的上动点，连接AC，在AC上方作一个等边三角形ACD，连接BD，则BD的最大值为（ ）

A．4 B. 5 C．2√5 D．3√2 +1

【解答】以BC为边在BC上方构造等边△BCE，连接DE、BD．

∵∠ACB＝60°﹣∠ECA，∠DCE＝60°﹣∠ECA，∴∠ACB＝∠DCE．

又AC＝DC，BC＝EC，∴△ABC≌△DEC（SAS）．∴DE＝AB＝1．

∴点D运动轨迹是以点E为圆心，1为半径的圆，

当B、E、D三点共线（D点在BE的延长线上）时，BD最大为3+1＝4．故选：A．

三、专题总结

几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量(如线段长度、角度大小、图形面积)等的最大值或最小值，求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法；2．几何定理(公理)法；3．数形结合法等．复习时既要注重对基本知识源的理解与建构，更要注重对相关知识源的综合与整合。在解决本类题型时我们要学会动中觅静，即要分析总结图形中动点在运动过程中不变元素，探寻那些隐含的、在运动变化中的不变量或不变关系．通过不变关系建立相关模型实现最值的转化。

四、命题预测

1.综合性逐渐增强，如多个知识源、知识点的相互整合渗透；

2.注重对基本技能和基本思维方法的考查，注重了初、高中知识的衔接；

3.最值问题"逆" 呈现，如在最值条件下求其他相关问题.

五、巩固演练

以上数例及练习为几何中有关最值计算问题的常用设计思路，同学们只要能寻得问题的源头，按照常见8种类型最值问题思维模式，注重问题转化，一般便能抵达成功的彼岸．