关于二次方程的几何解法

百科漫谈 04-07 141

前言：

现时看官们对“等于2的几何算法”大概比较讲究，各位老铁们都需要了解一些“等于2的几何算法”的相关文章。那么小编也在网络上汇集了一些有关“等于2的几何算法””的相关知识，希望各位老铁们能喜欢，各位老铁们快快来学习一下吧！

二次方程的几何解法

阿拉伯数学家花拉子米被誉为“代数之父”，他用几何方法求出了二次方程的一个正根。

配方法示意图

例如解方程x²+10x=39，他画出一个正方形和一个长方形，分别代表x²和10x。问题还是没有头绪，他灵机一动，把长方形一分为二，把两个5x沿水平方向和垂直方向放在正方形的两边。这时，发现需要一个小正方形就得到大正方形了。这个小正方形就是5²，于是方程两边同时加上25，得到

x²+2·5x+5²=39+5²，即

(x+5)²=64

两边开平方得到

x+5=±8(当时没有负数的概念，他只求正根)

他的方法就是我们熟悉的配方法。

其实，这种方法，我们并不陌生，在初中几何的求值计算中曾使用过，那是运用一元二次方程为求解几何问题服务的．例如，计算线段长就是根据已知条件，寻找等量关系，建立一元二次方程后求解而得的．因此，如果我们将一元二次方程的几何解法与一元二次方程的代数解法结合起来，相互为用，既发现了知识应用的视角，又可以将相关内容融为一体，达到融会贯通的境界．

相关的几何方法很多，本文重点介绍卡莱尔的方法。

苏格兰作家卡莱尔( Thomas Carlyle ,1795-1881）在平面解析几何的基础上发展了一元二次方程的几何解法．卡莱尔在年轻时做过数学教师，卡莱尔的关于一元二次方程x2+ bx + c =0的解法是使用一个特殊的圆与 x 轴的交点．这个特殊的圆是以（0,1）和（- b , c ）为直径的端点的圆．若方程有两个实数解，这个圆与 x 轴就有两个交点，这两个交点的横坐标就是方程的根，即x₁和x₂是x²+bx+c=0的根，图3用一个例子说明了这种方法，假如方程有两个相等的实数解，则这个圆与 x 轴相切，切点的横坐标为方程的解．假如方程无实数解，则这个圆与 x 轴无交点．

基本图

卡莱尔的方法可以用圆方程x²+y²+bx -(1+c)y + c =0来验证．令 y =0，我们发现圆与 x 轴交点的横坐标是由方程x²+ bx + c =0给出的．这个横坐标就是已知方程的实根．

应用图

上图是卡莱尔方法的应用．圆与 x 轴的交点的横坐标﹣4和2就是方程x²+2x-8=0的根．

我们在解析几何的学习中，经常去求圆x2+y2+ bx -(1+ c ) y + c =0与 x 轴的交点的坐标．但我们很少做过一个一元二次方程变化为圆的方程，通过画圆的方法来求解出一元二次方程的根，建议通过此法的学习，我们在讲解平面解析几何的相关问题时，不妨可以适当地穿插一元二次方程的这种解法，以提高学生学习数学的兴趣．

要想使"数形结合"的方法成为学生的一种思维习惯，就要在这些基础性问题的解答中使用，让学生体味、思考和领悟，从而提高学生的数学思维能力．同时，要让学生在代数和几何的多种解法的熏陶中培养思维的品质，感受数学知识的整体性及其价值．

我们介绍了一元二次方程的几何解法，用几何的方法来求解一元二次方程让人感到新鲜而有趣，从中可以看到知识的力量和体味到一种数学的美感．这些几何的方法看上去是那么的出乎意料，但仔细想来却又在情理之中，当我们在匆匆忙忙地赶教学进度，教学生题型套路解法后，若要是能静下心来思考一下所教的数学内容如何为前学内容服务时（逆向思考），我们也许会发现一片新天地．这样不仅增强了所教内容的应用，还培养了学生的创新意识和精神．

读后感

本文作者是(200062)华东师范大学数学系2003级教育硕士范宏业。读完意犹未尽，再介绍一些相关的知识点。

勾股定理大家都非常熟悉，用它可以推导出两点之间的距离公式，请看下图：

看看相关的例题。已知两点坐标，怎样求两点之间的距离？很容易，套公式就行了。

不用担心搞不清谁减谁，记住横坐标减横坐标，纵坐标减纵坐标就行。因为平方具有非负性，所以被开方数一定不是负数。掌握了这个公式，再介绍一下中点坐标公式。

上一个章节的基本图和应用图都标注了圆心坐标。那么，已知直径两个端点坐标，怎样求圆心坐标呢？请看下图：

中点坐标公式的推导图

大家一看就懂，无需解释。

再拓展一下，怎样求已知点关于直线的对称点坐标呢？还是分类讨论，直接写出结论：

(1)已知点A(x₁，y₁)关于直线x=a的对称点B的坐标为(2a-x₁，y₁)；

(2)已知点A(x₁，y₁)关于直线y=b的对称点B的坐标为(x₁，2b-y₁)。

函数上的应用