数学基本知识

为帮助中学生（初中、高中）系统地掌握中学数学的基本知识，掌握各类题型的解题方法和技能技巧，提高数学思维能力和解决问题的能力，提高学习兴趣和效率，在这里系统的总结了中学（初中、高中）数学全部的重要概念、公式及定理，具有很强的实用价值。

将连续整理发布。

一、代数

1．实数

〔自然数〕 表示物体个数的0,1,2,3,4,5,…等，都称为自然数。除0以外的自然数称为正整数。

〔基数和序数〕 自然数用来表示数量多少时叫做基数，如3本书的3；用来表示顺序时叫做序数，如第3本书的3.

〔奇数〕 不能被2整除的整数，称为奇数。奇数可表示为2k+1, k∈Z 。

〔偶数〕 能被2整除的整数，称为偶数。0也是偶数，偶数可表示为2k, k∈Z 。

〔质数〕 一个大于1的整数，除了它本身和1以外，不能被其他正整数所整除，这样的数称为质数，也叫做素数。如2,3,5,7,11,13,17等都是质数，有无穷多个。

〔合数〕在正整数中，除了被1和本身整除以外，还能被其他正整数整除的数叫做合数，如6,8,9等都是合数。

〔互质数〕两个正整数，除了1以外，没有其他公约数时，称这两个数互质，如3和7互质，也叫做互素。

〔质因数〕一个正整数 a ，有一个因数 b ，且 b 是质数，则 b 叫 a 的质因数，如2,7都是14的质因数。

[0〕0是整数，是一个非负、非正的中性数。它小于一切正数，大于一切负数。是正负数的分界点。

0用在实际中，可以表示什么也没有；在数轴上表示0的点是一个分界点；温度0℃表示一个特定的温度；用0表示数位，如100中的0就是表示数位。

〔“0”与“1”的作用〕

(1)0不是正数，也不是负数；1不是质数，也不是合数。

(2) a ±0= a ; a·0=0;a·1= a。

(3）如 a · b =0，则 a 和6中必有一个为0，或者均为0.

a²+b²=0↔ a = b =0.

a 与 b 互为相反数↔ a + b =0.

(4）如 a · b =1，则两者为倒数关系 a =1/b

(5)a/0 无意义， a °=1( a ≠0).

〔约数（因数）和倍数）若整数 a 能被整数 b ( b ≠0）整除，则称 a 为 b 的倍数， b 为 a 的约数，因为整数都是±1的倍数，所以±1是任何整数的约数，又因为零是任何非零整数的倍数，所以任何一个非零整数都是零的约数。

〔公约数和最大公约数〕设a1,a2,a3,…, an ( n ≥2)是 n 个整数，如果 d 是它们中每一个数的约数，则 d▏a1 , d▏a2… … d▏an，则称 d 为a1,a2,…, an 的一个公约数（或公因数）。所有公约数中最大的一个公约数叫a1,a2,…, an 的最大公约数。记为（a1,a2,…, an )= d .

（公倍数和最小公倍数〕设a1,a2,…, an ( a≥2）是 n 个整数，如果 m 是这几个数的倍数，即a1|m,a2| m ,…, an| m ，则 m 称为a1,a2,…, an 的公倍数。在a1,a2,…, an 的所有公倍数中，最小的叫做最小公倍数，记做［a1,a2,…, an]= m .

〔用字母表示数〕在代数里，除了处理算术中个别的数之外，常常用字母表示数。常用的字母有 a , b , c ,…, , y , z ; A , B , C ,..., X , Y , Z ;α，β，γ等。用字母表示数，能够把数量或数量关系一般地而又简明地表达出来。

2．代数式

〔代数式〕用基本运算符号把数、表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。

说明

(1）基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方。

(2）字母可以表示任何数，因此，有关数的运算律也适用于代数式。

(3）代数式中出现的乘号，通常写成“· ”，或者省略不写，主要是为了避免与字母“x” 混淆。例如：4×a写成4·a或4，但数字与数字相乘一般仍用“×”号。

(4）在代数式中出现除法运算时，一般按照分数的方法来写。如 s ÷t写s/t ,ah÷2写成ah/2

(5）单独一个数字或者一个字母也可看做是代数式。如5, ,4, a + b , , a²等都是代数式，因为这些式子都是由六种基本运算符号将数与字母连接而成的，而像式子2x+3=0,a²+1>0等就不是代数式。

［列代数式〕把问题中与数量有关的词语，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，就是列代数式。

说明

(1）列代数式的关键是对一些数学概念和有关知识必须清楚。如①和、差、积、商、幂分别是加法、减法、乘法、除法和乘方运算的结果；②求比一个数多多少的数用加法；③求比一个数少多少的数用减法；④求某数的几倍或几分之几用乘法；⑤实际问题中列代数式常涉及行程问题、面积关系等，要正确运用有关公式。

(2）对于较复杂的数量关系，用代数式表示时，要对数量关系先正确地分析，找出运算顺序，并且正确地使用括号，从而列出代数式。

(3）代数式中的字母所表示的数，都是使代数式有意义的数，如中， 表示不等于1的一切数；又如 中 a 表示大于或等于0的一切数。

例 已知：某人骑车每小时行驶 a 公里，步行每小时行驶 b 公里，甲、乙两地相距s公里。

(1）该人从甲地到乙地，一半路程骑车，一半路程步行，共需多少时间？

(2）该人从甲地到乙地，骑车比步行少用多少时间？

解 （1）该人从甲地到乙地，一半路程骑车，一半路程步行，共需（s/2a +s/2b）小时。

(2）该人从甲地到乙地，骑车比步行少用(s/b-s/a）小时。

点评 第（1）小题需分别求出半程骑车和步行分别所需时间，再求和。第（2）小题要分析清楚骑车比步行少用时间是步行时间减去骑车时间的差。

〔代数式的值〕用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算，计算后所得的结果，叫做代数式的值。

说明

(1）代数式的值在它的字母表示的数值确定后，它的值也唯一确定，并且随字母表示的数的变化而变化。

(2）在求代数式的值的过程中，不能省略将字母的值代人代数式中的字母这个步骤；代入后，要注意运算顺序。

(3）字母的取值不能使代数式失去意义。

例 当 x =-2, y＝1/2时，求代数式x²+ xy +2y²的值。

解 当x=-2,y=1/2时x²+xy+2y²=(-2)²+(-2)×1/2﹢2×(1/2)²=3½

点评 代数式里的字母由数代入这一步一般不省略，同时代入负数或分数时必须添括号。

〔代数的运算顺序〕按下列原则进行：

(1）先算乘方开方，再算乘法除法，最后算加法减法。

(2）若有括号，则先算小括号“( )”，再算中括号“[ ]”，罪后算大括号“{ }”。

(3）同级运算（加法与减法是同一级，乘法与除法是同一级，乘方与开方是同一级）则按从左到右的顺序进行。

(4）为了简化计算，有时可根据运算定律变更常规的运算顺序。

〔公式〕 用数学符号语言正确表示各个量之间一定关系（如定律或定理）的常用式子，称为公式。

说明

(1）公式具有对同一类数量关系普遍适用，简明实用的基本特点。

(2）应用公式时，必须弄清公式中的字母所表示的数量的意义以及公式适用的对象范围。

如“距离=速度 × 时间”就是一个公式。在代数中常用字母形式给出上述关系。用 S 表示路程，v表示速度， t 表示时间，则上述公式就是 s = vt ，这不仅形式简单，而且便于应用，同时也是字母表示数的一类重要应用。

例 一种弹簧的长度用t表示，挂上物品的重量用 m 表示，测得的有关数据如下表：

重量 m ( kg )

长度l ( cm )

1

18

2

19

3

20

4

21

.......

.......

(1）写出用重量 m 表示长度l( cm )的公式；

(2）计算当挂了8.5千克物品时，弹簧的长度；

(3）计算当弹簧长度为27cm时，所挂物品的重量。

分析 观察数据可知：挂重每增加1kg，弹簧就伸长1cm，因此当挂重 m ( kg ）时，弹簧将伸长 m ( cm )；从挂重 m ( kg ）与弹簧长度l ( cm ）关系看，当挂重分别为1,2,3,4时，弹簧长度分别为17+1,18+1,19+1,20+1，因此可知弹簧原长为17cm，从而可推断出公式。

解 （1）用重量 m 表示长度 的公式为：l=17+ m

(2）当 m=8.5kg时，

l=17+8.5=25.5( cm )

(3）将l=27cm代人公式=17+ m ，得：

27=17+ m

m =10( kg )

点评 本例推导公式过程中，分析弹簧的初始长度以及变化规律是关键。

3．有理数

3.1有理数的意义

〔正数〕 大于0的数，叫做正数。

［负数〕 小于0的数，即在正数前面加上“-”（读做“负”号）的数叫做负数。

说明

(1）正数和负数的概念是客观现实中存在的量的反映，它们表示相反意义的量，正数都大于0，而负数都小于0。

(2)0既不是正数，也不是负数，同时负数概念的出现，赋予0更深刻的内涵，0不仅仅表示没有，它是比正数小、比负数大的一个分界数。

(3）在数系中，当引入负数后，自然数也叫做正整数。

例 某次数学竞赛规定：做对一题得5分，做错一题倒扣2分，分别用正、负数表示做对10题与做错5题的得分数。

分析 一般可用正数表示做对的得分数，负数表示做错的得分数。

解 做对10题的得分数为＋50分；

做错5题的得分数为﹣10分。

点评 在一些实际问题中不仅要表示数值的大小，还要考虑数值前的符号，正数前面可以加上“+”（读做“正”)号，也可以省略。

［整数）正整数（自然数）、0、负整数统称为整数。

（整数的特性）

(1）最大与最小 有最小的正整数0，但没有最大的正整数；有最大的负整数﹣1，但没有最小的负整数。

(2）偶数与奇数 一切能被2整除的整数，叫做偶数；一切不能被2整除的整数，叫做奇数。通常，偶数用2n表示，奇数用2n-1（或2n+1）表示，其中 n 取整数。

(3）质数与合数 在自然数中，除了1和它自身以外，没有其他的约数，这个数叫做质数（也就是素数），否则就是合数。“0”与“1”既不是质数，也不是合数；偶数中，“2”是唯一的质数，因为自然数的个数是无限的，所以质数与合数的个数也是无限的。

（4）公约数与公倍数 若正整数p是正整数a,b,c,....共同的约数，则p是它们的公约数，其中最大的一个公约数，叫做这n个数的最大公约数。

若正整数q是正整数a,b,c,...共同的倍数，则称q是这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。

(5）被2,3,4,5,…等数整除的整数的特征

分别被2,4,8整除的整数的特征是：这个整数的末位数、末两位数、末三位数分别能被2,4,8整除；分别被3,9整除的整数的特征是：这个整数的各位数字之和分别能被3,9整除；被5整除的整数的特征是：这个整数的个位数字是5或0；分别被7,11,13整除的整数的特征是：将这个整数分成两部分，一部分是它的末三位数，其余为另一部分，则这两部分的差分别能被7,11,13整除，若差仍然较大，可进行第二次。例如数93121，因为121-93=28，而28能被7整除，所以，93121能被7整除，又如数98366235,因为98366-235=98131,131-98=33,而33能被11整除，所以，98366235能被11整除。再如数713388741,713388-741=712647,712-647=65, 65能被13整除，于是713388741能被13整除。

〔分数〕 正分数、负分数统称分数。

说明

有时为了研究的需要，整数也可以看做是分母为1的分数，这时分数包括整数。

〔小数〕 分母是10,100,1000,.…的分数，改写成不带分母的数，叫做小数。一位小数表示十分之几，二位小数表示百分之几，三位小数表示千分之几，……。例如：1/10， 1/100，7/1000 ，可用小数0.1,0.01,0.007来表示。

〔有关小数的几点说明］

(1）小数的分类

小数分为：有限小数和无限小数

有限小数，如：0.4,2.85，....

无限小数分为：

无限循环小数，如：0.423423423…

无限不循环小数，如π, e ,…

无限不循环小数，0.423=0.423423423…是一个纯循环小数（小数点后第一位就开始循环的小数叫做纯循环小数）,423叫做一个循环节，2.178=2.1787878…是一个混循环小数（小数点后第二位或第二位后的某一位开始循环的小数叫做混循环小数）,78就是一个循环节。

(2）有限小数与无限循环小数都是分数，因此是有理数，而无限不循环小数则是无理数。

(3）有限小数可以化成分母是10ⁿ的分数，例如0.3= 3/10，1.72=1 ，而无限循环小数可以化成分母是99…9或99…900…0的分数，例如纯循环小数。0.

混循环小数

1.

〔有理数） 整数和分数统称有理数。

有理数

有理数可分为：整数和分数

整数包括：正整数（自然数）、 零和负整数

分数包括：正分数和负分数

有理数还可分为：正有理数、零和负有理数

正有理数包括：正整数（自然数）和正分数

负有理数包括：负整数和负分数

〔原点〕 画一条水平的直线，在这条直线上任取一点表示0，这一点称为原点。

〔数轴〕 规定了原点，正方向和单位长度的直线叫做数轴。

说明

(1）从原点出发，正方向的射线上的点对应正数，相反方向的射线上的点对应负数，原点对应0.

(2）数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。

(3）正数都大于0，负数都小于0．正数大于一切负数。

(4）所有的有理数都可用数轴上的点表示。

〔相反数〕 只有符号不同的两个数，其中一个就是另一个的相反数。

说明

(1）例如：-7是7的相反数，7是﹣7的相反数，即7与-7互为相反数。

(2）如果 a 表示一个数，那么 a 的相反数就是﹣ a ；因为 a 可以是正数、也可以是负数或0，所以- a 不一定是负数。

(3) 0的相反数是0.

〔倒数〕 1除以一个不为零的数的商，叫做这个数的倒数。

说明

(1）任何不为零的有理数都有倒数。

(2）零没有倒数。

例 分别写出1,-3，

分析 根据倒数的概念，倒数的实质即分子与分母互换位置。整数可看成分母为1的分数 。

解 1的倒数是1;

-3的倒数是 -；

3/5的倒数是5/3

点评

(1）如果 a 表示一个不为零的有理数，那么 a 的倒数就是 1/a，而1/a的倒数就是 a , a 与1/a互为倒数。

(2）在了解有理数的乘法运算后，倒数还可这样规定：如果两数之积为1，那么这两个数叫做互为倒数。即：如果两个有理数 a , b 存在关系 ab =1，那么 a , b 互为倒数。

［绝对值〕 一个数 a 的绝对值就是在数轴上表示数a的点与原点的距离。数a的绝对值记 a

说明

(1）一个正数的绝对值是它本身。

(2）一个负数的绝对值是它的相反数。

(3)0的绝对值是0.

(4) a 表示一个数，以上三条可表示为：

|a|=a(a>0)

|a|= 0 (a=0)

|a|=-a (a<0)

(5）相反数的绝对值相等.如|a|=|-a| ,|a- b|=|b-a| .

［负数大小的比较］ 两个负数，绝对值大的反而小。

［乘方〕 求 n 个相同因数的积的运算，叫做乘方。

〔幂〕 乘方的结果叫做幂。

〔底数〕 在 aⁿ中， a 叫做底数。

〔指数〕 在 aⁿ中， n 叫做指数。

说明

(1）一个数可以看做这个数本身的一次方，即 a = a¹.指数1通常省略不写。

(2）习惯上把a²( a的二次方）叫做 a 的平方。a³( a的三次方）叫做 a 的立方。

(3）正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。

(4）分数和负数的乘方，底数要加括号，以避免误解。如(1/2)²=1/4 ,（-0.01）²= +0.0001，而-0.01²= -0.0001.

〔科学记数法〕 把一个不等于0的数记成 a× 10ⁿ的形式（其中 a是整数数位只有一位的数，n是整数），叫做科学记数法。

例 用科学记数法记地球离太阳约1亿5千万千米，即地球距太阳约150 000 000千米。分析在大于1的一个数的科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1，本例中，原数是9位整数，科学记数法中的指数就是8.

解150 000 000=1.5x（千米）。

点评 本题也可看做将150 000 000的小数点向左移动8位，10的指数就是8，一般地，小数点向左移几位，10的指数就是几。

3.2有理数的运算

［有理数的加法法则）

(1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

(2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0.

(3）一个数同0相加，仍得这个数。

〔加法交换律〕 两个数相加，交换加数的位置，和不变，即 a + b = b + a

〔加法结合律〕 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。可表示为( a + b )+ c = a +( b + c )

〔有理数减法法则〕 减去一个数，等于加上这个数的相反数。即 a - b = a +(- b )

〔有理数的加减混合运算〕 有理数的加减法可以统一成加法运算，所以几个正数或负数的和，一般可称做代数和。

说明

(1）在进行有理数的加法运算时，根据加法交换律和结合律，可先将相反数相加，或将正数、负数分别结合在一起再相加。

(2）在进行减法运算时，首先将减变加，减数变号，然后按加法去计算。

(3）对有理数的加减混合运算，可适当运用加法交换律和结合律，将其统一成加法后再进行计算，但交换加数时，要连同前面的符号一起交换。

［有理数乘法法则）

(1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

(2）任何数同0相乘，都得0.

(3）几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。

(4）几个数相乘，有一个因数为0时，积就为0.

说明 在做乘法运算时，先确定积的符号，再确定积的绝对值。

〔乘法交换律〕 两个数相乘，交换因数的位置，积不变。可表示为ab=ba

〔乘法结合律〕 三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。可表示为

(ab)c = a(bc)

［分配律〕 一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。可表示为

a(b+c)=ab+ac

［有理数除法法则］

除以一个数等于乘上这个数的倒数。可表示为

a÷b = a·1/b(b≠0)

(1）两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

(2)0除以任何一个不等于0的数，都得0.

(3)0不能做除数。

例 计算：-0.25÷ ½×(-7)÷1.75

解 -0.25÷½×(-7)÷1.75

= 0.25÷½×7÷1.75

= ¼×2×7×4/7

= 2

说明

(1）有理数的除法可以化为有理数的乘法，再利用有理数乘法的运算律简化运算。

(2）乘除混合运算一般先将除法化成乘法，再确定积的符号，最后求出结果。

〔有理数的运算顺序〕 先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，就先算括号里面的。

〔近似数〕 接近准确数而不等于准确数的数叫做这个数的近似数，也叫做近似值。如把3⅓化成小数，结果保留一位小数，得3≈3.3,这里的3⅓是一个准确数，3.3是一个近似数。

〔精确度〕 表示近似数精确的程度（精确到什么数位）叫做精确度。

说明

一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。例如：4 ⅓= 4.3…

结果取4，就叫做精确到个位；

取4.3，就叫做精确到十分位（或精确到0.1);

取4.33，就叫做精确到百分位（或精确到0.01).

〔有效数字〕 在一个近似数中，从左边第一个不是0的数字起，到最右边的一位数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字。

说明 关于有效数字，要注意从左边第一个不是0的数字算起，中间的0以及末尾的0都是有效数字。如用四舍五入法，对1.5972（精确到0.01）取近似值，

得1.5972≈1.60．这个由四舍五入得来的1.60与1.6不一样，不能随便把最后一个0去掉。

表示一个近似数的精确度和有效数字，通常要用到科学记数法。如用四舍五入法，对64340（保留一个有效数字）和60340（保留两个有效数字）取近似值。得64340≈6x和60340≈6.0x.如果把两个结果都写成60000，就看不出哪些是保留的有效数字，所以用科学记数法把结果分别记成6x和6.0x.

〔去尾法〕 把不需要的尾数全部去掉叫做去尾法。

〔进一法〕 在需要的数字后面不论大小都进一位叫做进一法。

〔平方表〕 由底数查它的二次幂（平方幂）的数表叫做平方表。

〔立方表〕由底数查它的三次幂（立方幂）的数表叫做立方表。

说明

(1）平方表、立方表中能直接查到的是1.000—9.999之间的四位有效数字的平方幂或立方幂。不在此范围内的数的平方幂查表时，先将底数的小数点向右（或向左）移动 n 位，使底数在表中能找到，查到的结果的小数点应向左（或向右）移动2n位。如2.468²=6.091而24.682=609.1．查立方表时，底数的小数点位置每移动一位，则结果的小数点位置相应地朝反方向移动3位。

(2）求多于四个有效数字的平方（或立方），可先把底数四舍五入到四个有效数字，再查表求得有四个有效数字的平方数（或立方数）。

(3）修正值加在前面三位有效数查得数据的最末位上。

(4）查表所得的结果，虽然大都是近似值，一般仍用等号。

(5）求平方数或立方数，一般计算器可直接得出。

4．整式的加减

〔单项式〕 像4x, ab ,x²,-n 这些只含有数与字母的积或正整数幂组成的代数式叫做单项式。

说明

单独一个字母或一个数字也是单项式。如﹣2, a ,0等等。

［单项式的系数〕 单项式的数字因数叫做这个单项式的系数。

〔单项式的次数〕 一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。

说明

(1）单项式的系数包括前面的符号，如﹣7xy²的系数是-7,-xyz 的系数是﹣1；如果单项式的字母前面没有数字，

待续。