解决旋转问题， 分类讨论在旋转的题型中尤为常见，因为旋转本身可分为顺时针和逆时针，旋转又往往结合直线、射线、线段等，都是要分类讨论的点。尤其题目已知对应点或旋转方向不确定时，就可能存在多种情况，求解时应根据可能存在的情况进行分类讨论。

一、旋转位置不确定

1．（2019秋•襄阳期末）如图，将一个8cm×16cm智屏手机抽象成一个的矩形ABCD，其中AB＝8cm，AD＝16cm，然后将它围绕顶点A逆时针旋转一周，旋转过程中A、B、C、D的对应点依次为A、E、F、G，则当△ADE为直角三角形时，若旋转角为α（0＜α＜360°），则α的大小为_____．

【解析】由折叠的性质可得AE＝AB＝8cm，∠EAB＝α，利用两种情况讨论，由旋转的性质可求解．

由折叠可得AE＝AB＝8cm，∠EAB＝α，

若∠AED＝90°时，

∵cos∠DAE＝AE/AD=8/16=1/2，∴∠DAE＝60°，

当AE在AD右侧时，∠EAB＝∠DAB﹣∠DAE＝30°，

当AE在AD左侧时，∠EAB＝∠DAB+∠DAE＝150°，∴α＝30°或150°

若∠DAE＝90°时，∴∠EAB＝∠DAB+∠DAE＝180°，

故答案为：30°或150°或180°

2．（2019秋•巴彦县期末）如图，正方形ABCD的边长为4，E在CD上，CE＝1，将线段AE绕点A旋转，使点E落在直线BC上的点F处，连接DF，则DF的长为_______．

【解析】一般我们在涉及到旋转的题目的时候，要考虑到旋转可分为顺时针旋转和逆时针旋转，这道题这个因素不是主要的影响因素，而是其中的一个单词"直线"，就这道题而言，E可能在线段BC上，或者在CB延长线上，或者BC延长线中，具体要根据画出图像来定。

分类讨论：当点F落在边BC上时，如图，利用正方形的性质得AB＝AD＝4，∠ABF＝∠D＝90°，利用旋转的性质得AF＝AE，则可证明Rt△ABF≌Rt△ADE，所以BF＝DE＝3，于是得到CF＝BC﹣BF＝1，由勾股定理可求DF的长；

当点F落在BC的延长线上的点F′时，如图，同样可证明Rt△ABF′≌Rt△ADE，得到BF′＝DE＝3，则CF＝BC+BF′＝7，由勾股定理可求DF的长，即可求解．故可求答案为：√17或√65；

变式．（2019秋•信阳期末）如图，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝3，把矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，那么线段DP的长度等于______．

【解析】如图，当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P处时，利用旋转的性质得AP＝AD＝5，再利用勾股定理计算出BP＝4，则PC＝1，接着利用勾股定理计算出DP的长；当矩形ABCD绕点A顺时针旋转，当点D落在射线CB上的点P′处时，利用同样的方法可计算出DP′的长．

综上所述，可求线段DP的长度为√10或3√10．

3．（2018秋•无为县期末）如图，正方形ABEF与正方形BCDE有一边重合，那么正方形BCDE可以看成是由正方形ABEF绕点O旋转得到的，则图中点O的位置为_____．

【解析】由旋转的性质分情况讨论可求解；

∵正方形BCDE可以看成是由正方形ABEF绕点O旋转得到的，

∴若点A与点E是对称点，则点B是旋转中心是点B；

若点A与点D是对称点，则点B是旋转中心是BE的中点；

若点A与点E是对称点，则点B是旋转中心是点E；

故答案为：点B或点E或线段BE的中点．

变式．（2019秋•东湖区校级月考）如图，将一个8cm×16cm智屏手机抽象成一个矩形ABCD，其中AB＝8cm，AD＝l6cm，现将正在竖屏看视频的这个手机围绕它的中心R顺时针旋转90°后改为横屏看视频，其中，M是CD的中点，则图中等于45°的角有______个．（按图中所标字母写出符合条件的角）

【解析】利用正方形的性质，等腰直角三角形的性质一一判断即可．

如图，连接OR，PR，EG，FH，AC，BD，ED，DG，GB，BE，CH，AH，AF，FC，DH，CG，BF，AE．

由题意图中有两个正方形，正方形AHCF，正方形DEBG，由此可得16个45°角，图中有等腰三角形三个，△OMH，△PGM，△ORP，由此可得6个45°角，图中∠DHG＝45°，这样的角有8个，所以一共有16+6+8＝30（个），故答案为30．

4．（2019秋•香坊区校级月考）在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，将边AC绕点A旋转90°得到线段AD，则tan∠DCB的值为______．

【解析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键。

如图，根据旋转的性质得到AD＝AD′＝AC，∠CAD＝∠CAD′＝90°，推出D′，A，D三点共线，得到△D′CD是等腰直角三角形，∠D′＝∠D＝45°，求得∠D′CD＝90°，延长AB交CD′于E，过E作EF⊥AD′于F，根据勾股定理得到AC＝√5，求得AD′＝√5，设D′F＝EF＝x，根据相似三角形的性质得到EF＝√5/3，AF＝2√5/3，根据三角函数的定义即可得到结论．

综上所述，tan∠DCB的值为1/3或3，

5．（2019秋•杨浦区期中）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，点D，E分别在边BC、AB上，且DE⊥BC，BD＝4，将△BDE绕点B旋转至△BD₁E₁，点D、E分别对应点D₁、E₁，当A、D₁、E₁三点共线时，则CD₁的长为_______．

【解析】本题考查了旋转的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识，利用分类讨论解决问题是本题的关键。

如图1，当点D1在线段AE1上，

∵∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝4，

∴AB＝8，BC＝√3AC＝4√3，

∵将△BDE绕点B旋转至△BD₁E₁，

∴D₁B＝4＝DB，∠BD₁E₁＝90°，

∴有勾股定理可求得AD₁＝4√3，

∴AD1＝BC，且AC＝BD₁，

∴四边形ACBD₁是平行四边形，且∠ACB＝90°，

∴四边形ACBD₁是矩形，∴CD1＝AB＝8，

∴如图2，当点D₁在线段AE₁的延长线上，

∵∠ACB＝∠AD1B＝90°，

∴点A，点B，点D₁，点C四点共圆，∴∠AD₁C＝∠ABC＝30°，

∵AC＝BD₁，AB＝AB，∴Rt△ABC≌Rt△BAD₁（HL）

∴∠D₁AB＝∠ABC＝30°，且∠BAC＝60°，

∴∠CAD₁＝30°＝∠AD₁C，∴AC＝CD₁＝8，

综上所述：CD₁＝4或8，

6．（2018秋•唐县期末）已知A、B是线段MN上的两点，MN＝4，MA＝1，MB＞1．以A为中心顺时针旋转点M，以B为中心逆时针旋转点N，使M、N两点重合成一点C，构成△ABC．设AB＝x，请解答：

（1）x的取值范围_____；

（2）若△ABC是直角三角形，则x的值是_____．

【解析】（1）∵MN＝4，MA＝1，AB＝x，

∴BN＝4﹣1﹣x＝3﹣x，

由旋转的性质得，MA＝AC＝1，BN＝BC＝3﹣x，

7．（2019秋•新乡期末）实验探究：

如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，交于BD、CE点P．

【问题发现】

（1）把△ABC绕点A旋转到图1，BD、CE的关系是　_____（"相等"或"不相等"），请直接写出答案；

【类比探究】

（2）若AB＝3，AD＝5，把△ABC绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，在图中作出旋转后的图形，并求出此时PD的长；

【拓展延伸】

（3）在（2）的条件下，请直接写出旋转过程中线段PD的最小值为　 　．

【分析】（1）把△ABC绕点A旋转到图1，根据旋转的性质，可以证明△ABD≌△ACE，即可得BD、CE的关系；

（2）把△ABC绕点A旋转，当∠EAC＝90°时，分两种情况在图中作出旋转后的图形，进而求出此时PD的长；

（3）根据旋转的性质即可知旋转过程中线段PD的最小值．

【解答】：（1）BD、CE的关系是相等．

理由：∵△ABC和△ADE是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，∴AB＝AC，∠BAD＝∠CAE，DA＝EA，

∴△ABD≌△ACE（SAS）∴BD＝CE．故答案为：相等．

（2）如图2，3即为旋转后的图形．

①如图2，当C在AD上时，

由（1）知△ABD≌△ACE，∴∠ADB＝∠AEC

又∵∠PCD＝∠ACE，

二、对应点不确定

8．（2019秋•新昌县期末）在平面直角坐标系中，把点P（3，4）绕原点旋转90°得到点P₁，则点P₁的坐标是（　　）

A．（﹣4，3） B．（﹣3，4）

C．（﹣3，4）或（3，﹣4） D．（﹣4，3）或（4，﹣3）

【解析】利用图象法，画出图形即可解决问题．如图点P点P（3，4）绕原点旋转90°得到点P₁（﹣4，3），P₂（4，﹣3）．

故选：D．

9．（2019秋•新泰市期末）如图，A点的坐标为（0，4），B点的坐标为（4，2），C点的坐标为（6，2），D点的坐标为（4，﹣2），小明发现：线段AB与线段CD存在一种特殊关系，即其中一条线段绕着某点旋转一个角度可以得到另一条线段，你认为这个旋转中心的坐标是______．

【解析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为所求．

如图，旋转中心为P（2，0）或（5，5）．

故答案为（2，0）或（5，5）．

10．（2020•武汉模拟）如图，Rt△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，2）、B（0，4）、C（0，2）．

（1）将△ABC以点C为旋转中心旋转180°，画出旋转后对应的△A₁B₁C．平移△ABC，若A对应点A2的坐标为（0，﹣4），画出平移后对应的△A₂B₂C₂；

（2）若将△A₁B₁C绕某一点旋转得到△A₂B₂C₂，请直接写出旋转中心的坐标为______．

（3）在x轴上找一点P，使得直线CP将△ABC的面积分为1：3，直接写出P点的坐标为_____．

【解析】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．

（1）如图，△A₁B₁C₁为所作；，A₁（﹣4，4），B₁（﹣1，1），C₁（﹣3，1）；

（2）如图，△A₂B₂C₂为所作；

反思总结

分类讨论是初中数学中很重要的一个思想，也是学生比较难掌握的一点。

首先：同学们要熟练掌握知识点，如点与圆，直线与圆的位置关系在授新课的时候老师就讲过要分类，如何分类；

其次：同学们在做到这类题的时候，要提高自己的敏感度，抓住一些关键词，如"旋转、直线、相切、等腰"等；

然后：同学们在复习的过程中，有针对性地做一些经典的题目；还有很多同学做不来分类讨论的题是因为画不出那种情况下所形成的图像，所以这要求学生平时要注意培养自己的平面想象能力，平时自己多画图，培养自己的画图能力，可以借助几何画板等软件去提高。

所以在平时解答图形变换过程中，应学会利用备用图来打草稿，即用它多画上几次旋转后的图形，用于弥补想象力之不足，或者记录结果。实践表明，平时能形成了良好习惯的学生，使用最"笨"的方法去挨个作图，此类题最终也能解，其实并不需要作全部，作个一两个，过程就基本了解了。而此题解答失败的学生中，不考虑空白卷，已经作答的学生，作图习惯差的往往困难最大，他们在课堂上或许很认真在看老师作图，演算，但自己手中的笔未动，脑子未转，仅仅动用了听力，而正是这类学生，反复出现"一讲就会，一做就错"，属于假努力。因此有必要求解几何问题时加强话草图思考推理的习惯。