作者 | 高宏

一、随机游走问题

1905年，英国统计学家Pearson在《自然》杂志上公开求解随机游走问题（Random Walk Problem）：如果一个醉汉走路时每步的方向和大小完全随机，经过一段时间之后，在什么地方找到他的可能性最大？

图1 随机游走的醉汉

1921年，匈牙利数学家Polya在研究随机游走问题后，证明了“一维或二维随机游走返回原点的概率为100%”的随机游走定理，并得出了随机游走的醉汉最终会返回原点的结论。

日本著名数学家角谷静夫通俗形象地将Polya随机游走定理表述为：喝醉的酒鬼总能找到回家的路（A drunk man will eventually find his way home）。因此，随机游走定理也被称为酒鬼回家定理。

2012年，Polya的随机游走定理被《数学之书（The Math Book）》列入数学发展史上最重要的250个里程碑式事件之一。《数学之书》是这样用现代语言描述随机游走问题的，想象一只机器甲虫在一条无限长的水管中随机地向前或向后移动一步，问它最终回到原点的概率是多少？Polya随机游走定理证明：如果不限制机器甲虫在一维空间内随机游走的步数，则机器甲虫最终回到原点的概率等于1。

图2 《数学之书（The Math Book）》

二、与高尔顿板实验结果不一致

高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿（Galton）专门设计用来演示一维随机游走过程及正态分布现象的实验装置（图3）。

图3 高尔顿板随机游走实验

高尔顿板上的每一个圆点表示钉在板上的钉子，钉子之间的距离彼此相等，呈三角形排列，上一层每一颗钉子的位置恰好位于下一层两颗钉子的正中间。

当小球从最上方的入口落下时，小球每次碰到钉子后向左、右两个方向落下的概率各为50%，直到最后落入底部的一个格子内。

小球的下落过程就相当于一维简单随机游走。把大量小球逐个从入口处放下，只要高尔顿板的面积足够大、钉子数量足够多，落在底部格子内的小球将形成与正态分布曲线相似的中间高、两边低的钟形曲线。

如果高尔顿板面积足够大，小球在下落过程中将逐渐向左右两个方向扩散，表明一维随机游走的小球（醉汉或机器甲虫）随时间远离原点。

三、与随机游走模型的数字特征不一致

随机游走是《随机过程》学科中用于描述动态随机现象的一种基本随机过程。液体中悬浮微粒的布朗运动、空气中的烟雾扩散、光纤陀螺的随机游走误差、股票市场的价格波动等动态随机现象均可用随机游走模型进行描述。

《随机过程》教科书给出了一维简单随机游走随机变量的数学模型

式中 、 ，…， 为独立同分布 随机变量。当 时，称为从原点出发的一维简单随机游走。

一维简单随机游走向左移动一步的概率与向右移动一步的概率相等，有

由于 ， ，因此一维简单随机游走 的数学期望和方差为

表明一维简单随机游走 的方差与步数 成正比，因此，一维简单随机游走是一个类似于物理学布朗运动的扩散过程。

方差是用来刻画随机变量偏离均值分散程度的数字特征，度量的是所有样本轨道（小球或醉汉）偏离均值的发散程度，因此， 表明，随着步数 的增加，大量一维简单随机游走的小球或醉汉会远离原点。

图4给出了大量一维简单随机游走醉汉的样本轨道仿真曲线，所有样本轨道在第 步时的位置 就是随机变量 在第 步时的状态， 服从 正态分布。从图中可以看出，对于其中任何一条样本轨道（醉汉），都随步数 的增加远离原点，与高尔顿板的实验结果相同 。

图4 一维简单随机游走样本轨道

四、polya随机游走定理的证明方法

Polya随机游走定理只证明了随机游走具有常返性（Recurrence)，即

常返性只表示随机变量 （醉汉集合）返回原点无穷多次的概率等于1，但不能说明一条样本轨道 （一个从原点出发的醉汉）最终一定会返回原点。

假设有无数个醉汉从原点出发，在第 步时，所有醉汉的位置服从 正态分布，因此，随机游走过程具有如下两个重要性质：

（1）随机游走是一个扩散过程，醉汉样本整体向远离原点的方向扩散；

（2）在原点始终可以看到醉汉，也就是说，在原点看到醉汉的概率等于1。

Polya只是利用概率计算方法证明了第二个性质，却得出了所有从原点出发的醉汉最终会返回原点的结论。

五、polya解题方法的错误分析

Pearson的随机游走问题是求解一个醉汉第 步时的位移 ，也就是一条样本轨道 随时间的演变性质，而非随机变量 =0的概率。

一个醉汉或一个机器甲虫的位移 只能被抽象为随机过程的一条样本轨道或一个样本函数，而非随机过程随机变量 。

Polya把求解一个醉汉第 步时的位移问题，转换为求解一个醉汉在第 步时返回原点的概率问题，无形中导致研究对象发生错位，使研究对象从一条样本轨道（一个醉汉）改变为随机变量（大量醉汉的集合），必然会得出与事实不符的结论。

事实上， ， 为任意整数，表明随机变量 可以到达任意整数点 （包含原点），这一结论从 的概率密度函数服从正态分布的角度很容易理解。

Polya导致研究对象错位的样本轨道研究方法被《随机过程》和《数理金融学》所传承。《随机过程》教科书在分析和推导随机游走、泊松跳跃和布朗运动等典型随机过程样本轨道性质时，均将样本轨道当作随机变量，并用描述随机变量空间统计特性的数字特征来刻画一条样本轨道随时间的演变规律，从而得出了一系列与事实不符的错误结论，《随机过程》教科书为自然科学、工程技术和社会科学提供了错误的样本轨道研究方法、理论及工具。

《数理金融学》将随时间变化的股票价格（相当于一个随机游走醉汉的位移）错误地抽象为随机变量，建立的几何布朗运动价格模型、BS期权定价公式和波动率参数不可能正确描述实际股票价格波动现象和波动程度，在实际应用时给金融市场带来了巨大的灾难。

国内外大量的实证研究已得出结论：BS期权定价公式是导致1987、1997和2007年三次重大金融危机的主要原因，科技部基础研究司编写的《中国基础研究发展报告》也明确指出：BS期权定价理论是造成历次重大金融危机的关键性原因。

Polya将样本轨道当作随机变量的研究方法导致《随机过程》和《数理金融学》陷入了严重的范式危机，《随机过程》和《数理金融学》学科的样本轨道研究方法将面临从随机变量到时间函数的重大范式变革。

六、随机游走位移公式

为独立同分布随机变量，即 的样本轨道 在不同时刻互不相关，因此 的时间自相关函数为

式中 为单位冲击序列。

根据维纳-辛钦定理，平稳随机过程的自相关函数与其功率谱密度之间构成一对傅里叶变换，因此 的功率谱密度为

表明 的功率谱密度在整个频率轴上均匀分布，因此 为白噪声时间序列。

由前面一维随机游走随机变量 模型，可直接写出样本轨道 的模型

=

可将上式改写为

式中为 为 在区间 上的算数平均值，其物理意义为一维随机游走的质点（醉汉）在区间 上的平均速度。

因此，一维随机游走的位移 等于其平均速度 与步数 的乘积， 的变化规律就完全取决于 的特性。

从信号分析的角度看，白噪声序列 包含了所有频率的谐波分量， 在区间上不可能对所有频率的谐波分量进行整周期截取，因此频谱泄漏效应会导致 中出现直流分量，就是随机信号 在区间上的直流分量。

白噪声序列 是随机序列，由 构造出的 也是随机的，其方差为

当 充分大时， 的方差趋于零， 趋于一个常数，因此，一维随机游走的位移与步数成正比，随着步数 的增加，醉汉或机器甲虫会远离远点。

作者简介：

高宏，毕业于清华大学精密仪器系，分别获工学学士、硕士和博士学位，留校任教从事测试信号分析与处理的教学与科研工作，现任紫光股份有限公司CTO，北京市科协委员。