第一单元 四则运算

1、加、减的意义和各部分间的关系

（1）把两个数合并成一个数的运算，叫做加法。

（2）相加的两个数叫做加数。加得的数叫做和。

（3）已知两个数的积与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。

（4）在减法中，已知的和叫做被减数……。减法是加法的逆运算。

（5）加法各部分间的关系：

和=加数＋加数 加数=和－另一个加数 另一个加数=和一加数

（6）减法各部分间的关系：

差=被减数－减数 减数=被减数－差 被减数=减数＋差

2、乘、除法的意义和各部分间的关系

（1）求几个相同加数的和和的简便运算，叫做乘法。

（2）相乘的两个数叫做因数。乘得的数叫做积。

（3）已知两个因数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算，叫做除法。

（4）在除法中，已知的积叫做被除数…… 。除法是乘法的逆运算。

（5）乘法各部分间的关系：

积=因数×因数 因数=积÷另一个因数

（6）除法各部分间的关系：

商=被除数÷除数 除数=被除数×商 被除数=商×除数

（7）有余数的除法，

被除数=商×除数+余数

3、加法、减法、乘法、除法统称为四则运算

4、四则混合运算的顺序

（1）在没有括号的算式里，如果只有加、减法，或者只有乘、除法，都要按从左往右的顺序计算；

（2）在没有括号的算式里，如果既有乘、除法，又有加、减法，要先算（乘、除法），后算（加、减法）；（先乘除,后加减）

（3）一个算式里，既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。括号里面的算式计算顺序遵循以上的计算顺序。

5、有关0的计算

（1）“0”不能做除数; a÷0错误

（2）一个数加上0 还得原数; 字母表示:a+0= a

（3）一个数减去0还得原数; a-0= a

（4）被减数等于减数，差是0; a-a=0

（5）一个数和0相乘，仍得0: a*0=0

（6）0除以任何非0的数，还得0; 0+a(a≠0)=0

6、租船问题。

解答租船问题的方法：先假设、再调整。

第二单元 观察物体二

1、正确辨认从上面、前面、左面观察到物体的形状。

2、观察物体有诀窍，先数看到几个面，再看它的排列法，画图形时要注意，只分上下画数量。

3、从不同位置观察同一个物体，所看到的图形有可能一样，也有可能不一样。

4、从同一个位置观察不同的物体，所看到的图形有可能一样，也有可能不一样。

5、从不同的位置观察，才能更全面地认识一个物体。

第三单元 运算定律

1.加法交换律：a+b=b+a

2.加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c)

3.乘法交换律：a*b=b*a

4.乘法结合律：(a*b)*c=a*(b*c)

5.乘法分配律：(a+b)*c=a*c+b*c 或 a*(b+c)=a*b+a*c

拓展：(a-b)*c=a*c-b*c 或 ax(b-c)=a*b-a*c

6.连减：a-b-c=a-(b+c) a-b-c=a-c-b

7.连除：a÷b÷c=a÷(b*c) a÷b÷c=a÷c÷b

【一】解析

1、加法运算定律：

①加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。 a+b=b+a

②加法结合律：三个数相加，可以先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再加上第一个数，和不变。 (a+b)+c=a+(b+c)

③加法的这两个定律往往结合起来一起使用。

2、连减的性质：

一个数连续减去两个数，等于这个数减去那两个数的和。 a－b－c＝a－(b＋c)

3、乘法运算定律：

①乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积不变。 a*b＝b*a

②乘法结合律：三个数相乘，可以先把前两个数相乘，再乘以第三个数，也可以先把后两个数相乘，再乘以第一个数，积不变。 (a*b) *c＝a*(b*c)

③乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以先把这两个数分别与这两个数相乘，再把积相加。 (a＋b) ×c＝a×c＋b×c

4、连除的性质：一个数连续除以两个数，等于除以这两个数的积。

a÷b÷c＝a÷(b×c)

【二】简便计算

1.常见乘法计算：25x4=100 125x8=1000

2.加法交换律简算例子:

3.加法结合律简算例子:

50+98+50 488+40+60

4.乘法交换律简算例子

5.乘法结合律简算例子:

25x56x4 99x125x8

6.含加法交换律与结合律的简便计算:

7.含乘法交换律与结合律的简便计算:

65+28+35+72 25x125x4x8

8.乘法分配律简算例子:

(一)分解式（顺用） 25x(40+4)

(二)合并式（逆用-提取公因数）

135*12-135*2 35*8+35*6-6*35

(三)特殊(把相同因数改写成1*□或□*1) 99*256+256 (四)“拆数计算”(改写成整十/百/千数+一个数) 45*102

(五)“拆数计算”(改写成整十/百/千数-一个数) 99*26

9.连续减法简便运算例子

528-65-35 528-89-128 528-(150+128)

10、连续除法简便运算例子:

11、同级运算中的简便运算例子:

3200÷25÷4 256-58+44 250+8x4

11.易错的情况：

0.6+0.4-0.6+0.4 38×99+99

第四单元 小数的意义和性质

1.小数的产生:

在进行测量和计算时，往往不能正好得到整数的结果，这时常用小数来表示。

2.分母是10、100、1000......的分数可以用小数来表示。

3.小数是十进制分数的另一种表现形式。

4.小数点后面第一位是（十）分位，十分位的计数单位是十分之一，又可以写作0.1；

小数点后面第二位是（百）分位，百分位的计数单位是百分之一，又可以写作0.01；

小数点后面第三位是（千）分位，千分位的计数单位是千分之一，又可以写作0.001……

如：20.375，十分位上的3，表示3个（十分之一）；百分位上的7，表示7个（百分之一）；千分位上的5，表示5个（千分之一）

5.每相邻两个计数单位间的进率是10。

小数每相邻两个计数单位间的进率都是10,（10个千分之一是1个百分之一，10个百分之一是1个十分之一，10个十分之一是整数1，或10个0.001是1个0.01 ,10个0.01是1个0.1, 10个0.1是整数1……

6.小数的数位是十分位、百分位、千分位......最高位是十分位。

整数部分的最低位是个位。个位和十分位的进率是10。

0.378的计数单位是0001(最低位的计数单位是整个数的计数单位)

7. 小数的数位顺序表:

整数部分

小数点

小数部分

数位

...

万位

千位

百位

十位

个位

.

十分位

百分位

千分位

万分位

...

计数单位

...

万

千

百

十

一

(个)

十分之一

百分之一

千分之一

万分之一

...

8.小数的读法:

先读整数部分（按照原来的读法），再读小数点，再读小数部分。

读小数部分，小数部分要依次读出每个数字，而且有几个0就读几个0。

如：31.001 读作：三十一点零零一

9.小数的写法:

先写整数部分(按照原来的写法)，再写小数点，再小数部分:

写小数部分，小数部分要依次写出每个数字，而且有几个0就写几个0。

10.小数的性质:

小数的末尾添上“0”或去掉“0”，小数的大小不变。

注意：小数中间的“0”不能去掉，取近似数时有一些末尾的“0”不能去掉。

11.小数的大小比较:

(1)先比较整数部分; (2)如果整数部分相同，就比较十分位;

(3)十分位相同，就比较百分位; (4)以此类推，直到比较出大小。

12.小数点的移动:

小数点向右移：移动一位，相当于把原数乘10，小数就扩大到原数的10倍；

移动两位，相当于把原数乘100，小数就扩大到原数的100倍；

移动三位，相当于把原数乘1000，小数就扩大到原数的1000倍……

小数点向左移：移动一位，相当于把原数除以10，小数就缩小到原来的1/10；

移动两位，相当于把原数除以100，小数就缩小到原来的1/100；

移动三位，相当于把原数除以1000，小数就缩小到原来的1/1000……

13. 生活中常用的单位:

高级单位（大的）化成低级单位（小的） 低级单位（小的）化成高级单位（大的）

质量：1吨=1x1000=1000千克; 1千克=1÷1000=0.001吨

1千克=1x1000=1000克 1克=1÷1000=0.001千克

长度：1千米=1x1000=1000米 1米=1÷1000=0.001千米

1分米=1x10=10 厘米 1厘米=1÷10=0.1分米

1厘米=1x10=10 毫米 1毫米=1÷10=0.1 厘米

1分米=1x100=100毫米 1毫米=1÷100=0.01分米

1米=10分米=00厘米=1000毫米 1毫米=0.1厘米=0.01分米=0.001米

面积：1平方米=1x100=100平方分米 1平方分米=1÷100=0.01平方米

1平方分米=1x100=100平方厘米 1平方厘米=1÷100=0.01平方分米

人民币：1元=1x10=10角 1角=1÷10=0.1元

1角=1x10=10分 1分=1÷10=0.1角

1元=1x100=100分 1分=1÷100-0.01元

14.小数的近似数(用“四舍五入”的方法):

（1）保留整数，表示精确到个位，就是要把小数部分省略，要看十分位，如果十分位的数字大于或等于5则向前一位进1。如果小于五则舍。

（2）保留一位小数，表示精确到十分位，就要把第一位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第二位，如果第二位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进1。

（3）保留两位小数，表示精确到百分位，就要把第二位小数以后的部分全部省略，这时要看小数的第三位，如果第三位的数字比5小则全部舍。反之，要向前一位进1。

（4）把不是整万或整亿的数改写成用“万”或“亿”作单位的数。

改写成“万”作单位的数，就是小数点向左移动4位，即在万位的右边点上小数点，在数的后面加上“万”字。

改写成“亿”作单位的数，就是小数点向左移动8位即在亿位的右下角点上小数点，再在数的后面加上“亿”字。

注意:带上单位。然后再根据小数的性质把小数末尾的零去掉即可。

（5）在表示近似数时，小数末尾的“0”不能去掉。

（6）确定一个小数近似于哪个整数，关键要看它的十分位上的数是几。

（7）用“四舍法”取近似数时，准确数 > 近似数。

用“五入法”求近似数时，准确数 < 近似数

15.计算法则:

相同数位对齐(也就是小数点对齐)，按照整数计算方法进行计算，得数的小数点要和横线上的小数的小数点对齐。得数的末尾有0，一般要把0去掉。

如：9.80 应该为9.8。结果是小数的要依据小数的性质进行化简。

16.竖式计算以及验算。注意横式上要写上左边的答案，不要写成验算的结果。

17.整数的四则运算顺序和运算定律在小数中同样适用。(简算)

第五单元 三角形

1.三角形的定义:

由三条线段围成的图形（每相邻两条线段的端点相连或重合），叫三角形。

2.从三角形的一个顶点到它的对边做一条垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高。

这条对边叫做三角形的底。三角形只有3条高。重点：三角形高的画法。

3.三角形的特性:

①物理特性：稳定性。如:自行车的三角架，电线杆上的三角架。

②边的特性：任意两边之和大于第三边。

为了表达方便，用字母A、B、C分别表示三角形的三个顶点，三角形可表示成三角形 ABC或△ABC。

6.角形的分类:

按照角大小来分：锐角三角形，直角三角形，钝角三角形。

按照边长短来分：三边不等的△，等腰△（等边三角形或正三角形是特殊的等腰△）。

(顶角、底角、腰、底的概念)

7三条边都相等的三角形叫等边三角形，也叫正三角形。等边△的三边相等，每个角是60度。

8.三角形的内角和是180°

9.四边形的内角和是360°

10.用2个相同的三角形可以拼成一个平行四边形。

11.用2个相同的直角三角形可以拼成一个平行四边形、一个长方形、一个大三角形。

12.用2个相同的等腰的直角的三角形可以拼成一个平行四边形、一个正方形、一个大的等腰的直角的三角形。

补 充:

1.直角三角形中，两个锐角的和是90°

2.等边三角形的三个内角都是60°。

3.三角形的外角等于2 个和它不相邻的内角之和。

4.一个三角形最少有2个锐角，最多有3个锐角。

5.等腰三角形的两腰长度相等，两个底角度数相等。

6.已知三角形的两条边，确定三角形的另一条边，那么这条边的长度范围：

已知两边之和 > 第三边的长度 > 已知两边之差

8. n边形(n≥3)的内角和是:180°x(n-2)

第六单元 小数的加减法

1、笔算小数加、减法的方法：

（1）小数点对齐，也就是相同数位对齐；

（2）从末位算起，算加法时，哪一位数相加满十都要向前一位进1；算减法时，哪一位不够减就要从前一位退1。

（3）得数末尾有 0，一般要把0去掉。

（4）不要忘记了小数点。

2、小数加减混合运算的顺序与整数加减混合运算的顺序相同：

3、整数的运算定律在小数运算中同样适用。在小数四则运算中，恰当地运用加法交换律、结合律及连减的运算性质会使计算更简便。

4. 得数是小数时，（末尾）的0一般要去掉。

5. 一个整数与一个小数相加减时：

① 先在整数的右边点上小数点；

② 再添上与另一个小数部分同样多个数的0；

③ 然后再按照小数加减法的计算方法计算。

6. 得数是小数时，（末尾）的0一般要去掉。

7、验算：

加法验算：①交换加数的位置再加一遍，看结果与原来是否相同；

②用减法，把和减去一个加数，看差是否与另一个加数相同。

减法验算：① 用加法，把减数与差相加，看结果是否等于被减数；

② 用减法，把被减数减去差，看是否等于减数。

应用整数运算定律进行小数的简便计算：

整数运算定律在小数运算中同样适用。在小数四则运算中，恰当地运用加法（交换律）、（结合律）及减法的运算性质会使计算更简便。

8、 简便运算方法：

⑴ 几个小数连加时，如果其中的两个小数的尾数相加能凑整，先把这两个数相加，可使计算简便； 如：0.36+18.09+2.64+4.91

⑵ 一个数连续减去两个小数时，如果这两个小数相加的和能凑整，可以先把两个减数相加，再从被减数里减去这两个减数的和比较简便；

如：13.2-5.73-4.27

⑶ 一个数减去两个小数的和，当这两个数中的一个数的小数部分与被减数的小数部分相同时，可以先从被减数里减去这个数，然后再减去另一个数，计算比较简便。

如：18.63-（4.75+3.63）

⑷ 整数乘法的运算定律在小数乘法中同样适用

如: 3.65×42.6+3.65×57.4

⑸ 在小数运算中，可以利用（添括号）或（去括号）使计算简便:

→无论是去括号或添括号

① 括号前面是加号，去掉括号不变号；

如：6.59-4.86+2.86

②括号前面是减号，去掉括号全变号（加号变减号，减号变加号）。

如：6.47-(1.5-0.53)

⑹ 在没有括号的同级运算中，交换数据的位置，一定要带着它前面的符号。

如：4.95-2.67+1.05

第七单元 图形的运动二

1、把一个图形沿着某一条直线对折，如果直线两旁的部分能够完全重合，我们就说这个图形是轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴。

2、轴对称的性质：对应点到对称轴的距离都相等。

3、对称轴是一条直线，所以在画对称轴时，要画到图形外面，且要用虚线。

4、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴。轴对称图形可以有一条或几条对称轴。

5、画对称轴时，先找到与相反方向距离对称轴相同的对应点，最后连线。

6、长方形、正方形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、线段、菱形都是轴对称图形。

长方形有2条对称轴，正方形有4条对称轴，

等腰梯形有1条对称轴，等腰三角形有一条对称轴，等边三角形有3条对称轴，

线段有1条对称轴，菱形有2条对称轴，

圆有无数条对称轴，半圆有一条

7、平行四边形不是轴对称图形，没有对称轴。（长方形和正方形除外）

8、梯形不一定是轴对称图形。只有等腰梯形是轴对称图形。

9、古今中外，许多著名的建筑就是对称的。比如：中国的赵州桥，印度泰姬陵，英国塔桥，法国埃菲尔铁塔。

10、平移先找图形点，平移完点连起来，注意数点数要数十字。

11、平移不改变图形的大小、形状，只改变图形的位置。

12、利用平移，可以求出不规则图形的面积。

第八单元 平均数与条形统计图

1.条形统计图优点:直观地反映数量的多少。

2.平均数能清楚地表示一组数据的整体水平。

求平均数的方法:

(1)“移多补少”法;

(2)公式法：总数量÷总份数=平均数; (94+96+95+97+93)÷5=95

(3)基准数法：90+(4+6+5+7+3)÷5=90+25÷5=95

3.条形统计图：将两个单式条形统计图合并以后就得到一个复式条形统计图。

复式条形统计图要有图例，有横向和纵向两种。

复式条形统计图是用两个单位长度表示一个的数量，根据数量的多少画成长短不同的直条，

4.怎样画横向复式条形统计图

1).准备尺子，铅笔，橡皮等画图工具。

2).注意写单位，画中坐标和横坐标还有日期名字还有横坐标上的“0”。

3).假如位置有限，例如说0到10，到20，假如你写到200，位置绝对有限，你可以在0的上面画波浪线，然后写100（当然其他数也可以，但最标准的还是画闪电线）。

4).例如上图两者要有不同的颜色，假如没有色笔，第一个可以画斜线，第二个可以涂得严严实实。

5).在每个图的下方都要写标题。

5.复式条形统计图：

【特点】用直条的长短表示数量的多少。

【优点】能清楚地看出数量的多少，便于比较两组数据的多少。

第九单元 数学广角

(一)租船问题

解决租船问题的策略:

(1)根据船的租金和限乘人数，先计算哪种船便宜

(2)再假设所有人都租便宜的船，如果全部坐满无空位并且人全部坐完，那么这种租法就是最省钱的。

(3)就要调整，尽量做到两种船刚好坐满，这时是最省钱的。

例题:共有32人，租小船每条24元，限乘4人;租大船每条30元，限乘6人，怎样租最省钱?

步骤1：比较哪种船的租金便宜

小船：24+4=6(元/人) 大船：30÷6=5(元/人) 6<4 大船便宜

方案2：全租大船应租大船只数:32÷6=5(条)......2(人)

这2人还要租一条小船，那么总租金就为:5x30+24=174(元)

方案3：如租5 大船和 1条小船，小船没有做满， 还空2人这时不是最省钱的。

还可再调整成租4条大船和2条小船，这时大小船刚好做满。租金为:4x30+2x24=168(元)

答:租4条大船和2条小船最省钱。

(二)鸡兔同笼问题:

例:笼子里有鸡兔若干只，从上面数有10个头，从下面数有32只脚。问鸡和兔各有多少只?

1.用列表法:

2.假设法:

(1)假设全是鸡，那么就有10x2=20(只) 脚

(2)这样与实际相差 32-20=12(只) 脚

(3)当我们把一只兔想成一只鸡就少想了 4-2=2(只) 脚

(4)说明笼子里12*2=6(只) 兔被想成了鸡

(5)那么鸡应有10-6-4(只)

3.抬脚法:

(1)把鸡和兔都抬起两只脚，这时一共抬起了10x2=20(只)脚

(2)这时还剩下32-20=12(只)脚，这些都是兔子的

(3)一只兔子还剩下4-2=2(只)脚，说明笼子里有12+2=6(只)兔子

(4)那么鸡应有10-6=4(只)

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